अवकल गणित का स्रोत देखें


[[Image:Tangent-calculus.svg|thumb|300px|किसी वक्र के किसी बिन्दु पर खींची गयी [[स्पर्शरेखा]] की प्रवणता (स्लोप) उस बिन्दु पर उस वक्र के अवकलज के मान के बराबर होता है। ]]

[[गणित]] में '''अवकल गणित''' (differential calculus) [[कलन|कैलकुलस]] का उपभाग है जिसमें परिवर्तन की दर का अध्ययन किया जाता है। कैलकुलस का दूसरा उपभाग [[समाकलन|समाकलन गणित]] (इटीग्रल कैलकुलस) है।

; अवकलज की परिभाषा
<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}</math>

=== एक उदाहरण ===
अवकलज की परिभाषा का उपयोग करते हुए मूल सिद्धान्त से अवकलज निकाला जा सकता है। मान लीजिए कि हम फलन <math>f(x) = x^2 - 3x + 2</math> का अवकलज निकालना चाहते हैं।

: <math>\begin{align}
  \frac{\Delta y}{\Delta x} &= \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\\
                            &= \frac{\bigl((x_0+\Delta x)^2 - 3(x_0+\Delta x) + 2\bigr) - (x_0^2 - 3x_0 + 2)}{\Delta x}\\
                            &= \frac{x_0^2 + 2x_0\Delta x + \Delta x^2 - 3x_0 - 3\Delta x + 2 - x_0^2 + 3x_0 - 2}{\Delta x}\\
                            &= \frac{2x_0\Delta x + \Delta x^2 - 3\Delta x}{\Delta x}\\
                            &= 2x_0 + \Delta x - 3.
\end{align}</math>

जब <math>\Delta x \to 0</math> तो इसका मान

: <math>f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}(2x_0 + \Delta x - 3)= 2x_0 - 3.</math>

==अवकलन के नियम==
अवकलज की उपरोक्त परिभाषा के अनुसार कुछ ऐसे नियम निकाले गए हैं जो सदा कार्य करते हैं, चाहे [[फलन]] कुछ भी हो।  (''टिप्पणी''': यहाँ, <math>f</math> , <math>g</math> और <math>h</math> तीनों ही <math>x</math> के [[फलन]] हैं। <math>a</math> तथा <math>n</math> अचर संख्याएँ हैं।)

:<math>\left(a\right)' = 0</math>


:<math>(a\cdot f)' = a\cdot f'</math>


:<math>\left(g \pm h\right)' = g' \pm h'</math>


:<math>(g\cdot h)' = g' \cdot h + g \cdot h'</math>


:<math>\left(\frac{g}{h}\right)' = \frac{g' \cdot h - g \cdot h'}{h^2}</math>


:<math>\left(\frac{1}{h}\right)' = \frac{-h'}{h^2}</math>


:<math>\left(x^n\right)' = n x^{n-1}</math>


:<math>(g \circ h)'(x) = (g(h(x)))' = g'(h(x))\cdot h'(x)</math>


:<math>(f^{-1})'(f(x_0)) = \frac{1}{f'(x_0)}.</math>

; लैब्नीज का नियम

:<math>(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}</math>.


(''टिप्पणी''': यहाँ, <math>u</math> और <math>v</math> दोनों ही <math>x</math> के [[फलन]] हैं।)

{| class=wikitable
! शर्त
! फलन
! अवकलज (Derivative)
! उदाहरण
! अवकलज
|-
| कोई संख्या
| <math>y = a</math>
| <math>\frac{dy}{dx} = 0</math>
| <math>y = 3</math>
| <math>0</math>
|-
| एक सरल रेखा
| <math>y = mx + c</math>
| <math>\frac{dy}{dx} = m</math>
| <math>y = 3x + 5</math>
| <math>3</math>
|-
| ''x'' पर किसी संख्या का घात
| <math>x^a</math>
| <math>\frac{dy}{dx} = a x^{a-1}</math>
| <math>x^{12}</math>
| <math>12x^{11}</math>
|-
| किसी संख्या से किसी फलन में गुणा हो
| <math>y = c\cdot u</math>
| <math>\frac{dy}{dx} = c \frac{du}{dx}</math>
| <math>y=3(x^2 + x)</math>
| <math>3(2x + 1)</math>
|-
| पहला फलन + दूसरा फलन
| <math>y = u + v</math>
| <math>\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}</math>
| <math>y = 3x^2 + \sqrt{x}</math>
| <math>6x + \frac{1}{\sqrt{x}}</math>
|-
| पहला फलन '''-''' दूसरा फलन
| <math>y = u - v</math>
| <math>\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - \frac{dv}{dx}</math>
| <math>y = 3x^2 - \sqrt{x}</math>
| <math>6x - \frac{1}{\sqrt{x}}</math>
|-
| '''गुणनफल नियम''' <br/>पहला फलन '''x''' दूसरा फलन
| <math>y = u \cdot v</math>
| <math>\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}v + u\frac{dv}{dx}</math>
| <math>y = (x^2 + x + 2)(3x-1)</math>
| <math>(3x-1)(2x+1) + 3(x^2+x+2)</math>
|-
| '''भाजन का नियम (Quotient Rule)'''<br/>पहला फलन '''भागा''' दूसरा फलन
| <math>y = \frac{u}{v}</math>
| <math>\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{du}{dx}v - u\frac{dv}{dx}}{v^2}</math>
| <math>y = \frac{x^2 + 2}{x-1}</math>
| align=center | <math>\frac{2x(x - 1) - (x^2 + 2)}{(x-1)^2}</math>
|-
| '''शृंखला नियम (Chain rule)'''<br/>फलन के फलन के लिए 
| <math>y = u \circ v</math>
| <math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}</math>
| <math>y = \sqrt{2x-1}</math>
| <math>\frac{2}{2\sqrt{2x-1}} = \frac{1}{\sqrt{2x-1}}</math>
|-
| चरघातांकी फलन (exponential function)
| <math>\frac{}{} y = e^x</math>
| <math>\frac{dy}{dx} = e^x</math>
| <math>\frac{}{} y = e^x</math>
| <math>\frac{}{} e^x</math>
|}

==कुछ उदाहरण==
; उदाहरण-१
: <math>\ f(x) = 2x^3 + x^2 - 4x + 11</math> का अवकलज निकालिए।

<math>\ f'(x) = (2x^3 + x^2 - 4x + 11)' = </math>
:: <math>\ = (2x^3)' + (x^2)' - (4x)' + (11)'=</math>
:: <math>\ = 2 \cdot(x^3)' + (x^2)' - 4 \cdot(x)' + (11)' =</math>
:: <math>\ = 2 \cdot 3x^2 + 2x - 4 \cdot 1 + 0</math>
:: <math>\ = 6x^2 + 2x - 4</math>

; उदाहरण-२
: <math>\ g(x) = \sin{x^2}</math>

: <math>\ g'(x) = (\sin{x^2})' =</math>
:: <math>\ = \cos{x^2} \cdot (x^2)' =</math>
:: <math>\ = 2x \cdot \cos{x^2}</math>

; उदाहरण-३
: <math>\ h(x) = xe^x</math>

: <math>\ h'(x) = (xe^x)' =</math>
:: <math>\ = (x)' \cdot e^x + x \cdot (e^x)' =</math>
:: <math>\ = e^x + x \cdot e^x =</math>
:: <math>\ = (1 + x)e^x</math>

; उदाहरण-४
: <math>\ f(x) = \frac{\operatorname{ln} x}{x}</math>

: <math>\ f'(x) = (\frac{\operatorname{ln} x}{x})' =</math>
:: <math>\ = \frac{(\operatorname{ln} x)' \cdot x - (\operatorname{ln} x) \cdot (x)'}{x^2} =</math>
:: <math>\ = \frac{ \frac{1}{x} \cdot x - (\operatorname{ln} x) \cdot 1 }{x^2} =</math>
:: <math>\ = \frac{1 - \operatorname{ln} x}{x^2}</math>


; उदाहरण-५ 
:<math>\ f(x) = x^x</math>

यहाँ दोनों पक्षों का लघुगण्क (log) लेने से काम आसान हो जाता है।
: <math>\ \operatorname{ln} f(x) = x \cdot \operatorname{ln} x</math>

अब दोनों पक्षों का अवकलन करते हैं-

: <math>\ \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = (x)' \cdot \operatorname{ln} x + x \cdot (\operatorname{ln} x)'</math>

: <math>\ \frac{f'(x)}{f(x)} = \operatorname{ln} x + x \cdot \frac{1}{x}</math>

: <math>f'(x) = f(x) \cdot (\operatorname{ln} x + 1)</math>

अन्ततः <math>\ f(x) = x^x</math>, रख देने पर

: <math>f'(x) = x^x(\operatorname{ln} x + 1)</math>


; उदाहरण-६
: <math>\ 2xy^2 = \sqrt{y} + 5xy</math>

: <math>\ 2(xy^2)' = (\sqrt{y})' + 5(xy)'</math>

: <math>\ 2[(x)'y^2 + x \cdot 2y(y)'] = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \cdot (y)' + 5[(x)'y + x(y)']</math>

चूंकि <math>\ x' = 1</math>, अतः

: <math>\ 2(y^2 + 2xy \cdot y') = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \cdot y' + 5(y + x \cdot y')</math>

: <math>\ 2y^2 + 4xy \cdot y' = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \cdot y' + 5y + 5x \cdot y'</math>

अब <math>\ y'</math> वाले सभी पदों को बाँयी ओर ले जाने पर,

: <math>\ 4xy \cdot y' - \frac{1}{2 \sqrt{y}} \cdot y' - 5x \cdot y' = 5y - 2y^2</math>

: <math>\ y' \cdot (4xy - \frac{1}{2 \sqrt{y}} - 5x) = 5y - 2y^2</math>

: <math>\ y' = \frac{5y - 2y^2}{4xy - \frac{1}{2 \sqrt{y}} - 5x}</math>

==उपयोग==
=== इष्टतमीकरण===
[[इष्टतमकरण|इष्टतमीकरण]] (optimization) देखें।

=== भौतिकी में ===
भौतिकी के लिए कैलकुलस बहुत महत्व रखता है। बहुत सी भौतिक भौतिक प्रक्रियाएँ ऐसे समीकरणों द्वारा अभिव्यक्त की जातीं हैं जिनमें अवकलज होता है। ऐसे समीकरणों को [[अवकल समीकरण]] (differential equation) कहते हैं। भौतिकी में समय के साथ भौतिक राशियों के परिवर्तन की दर का विशेष महत्व है। इसलिए [[समय अवकलज]] (time derivative) की अवधारणा अनेक महत्वपूर्ण अवधारणाओं की परिभाषा के लिए अति आवश्यक है। उदाहरण के लिए [[गतिविज्ञान]] में किसी वस्तु के [[विस्थापन]] का समय अवकलज उस वस्तु का तात्क्षणिक [[वेग]] है, तथा वेग का समय अवकलज उस वस्तु का तात्क्षणिक [[त्वरण]]। 

* [[वेग]] (velocity) : वस्तु के विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलज 
* [[त्वरण]] (acceleration) : वस्तु के वेग का समय के सापेक्ष अवकलज

मान लीजिए कि किसी वस्तु की स्थिति x(t) निम्नलिखित फलन द्वारा व्यक्त की जा सकती है-

: <math>x(t) = -16t^2 + 16t + 32 , \,\!</math>

तो उस वस्तु का वेग का व्यंजक निम्नलिखित होगा-

: <math>\dot x(t) = x'(t) = -32t + 16, \,\!</math>

अर इसी प्रकार, उस वस्तु के त्वरण का व्यंअक यह होगा-

: <math>\ddot x(t) = x''(t) = -32, \,\!</math>

यहाँ त्वरण एक अपरिवर्ती संख्या है, किन्तु यह आवश्यक नहीं कि सभी वस्तुओं का सभी स्थितियों में त्वरण नियत रहे।

=== अवकल समीकरण ===
[[अवकल समीकरण]] देखें।

==इन्हें भी देखें==
*[[सीमा]]
*[[सतत फलन]]
*[[अवकलज]]
*[[अवकल समीकरण]]
*[[समाकलन]]
*[[स्पर्शरेखा]]

[[श्रेणी:कलन]]
[[श्रेणी:अवकल गणित|*]]