अवशेष प्रमेय का स्रोत देखें

'''अवशेष प्रमेय''' [[सम्मिश्र विश्लेषण|सम्मिश्र विश्‍लेषण]] में गणित का एक क्षेत्र है जिसे '''कौशी अवशेष प्रमेय''' भी कहा जाता है जो कि बन्द वक्र में [[विश्लेषणात्मक फलन|विश्लेषणात्मक फलनों]] का [[रेखा समाकल]] ज्ञात करने के लिए बहुत उपयोगी है; यह वास्तविक समाकल ज्ञात करने के लिए भी बहुत सहायक है। यह [[कौशी समाकल प्रमेय]] और [[कौशी समाकल सूत्र]] का व्यापकीकृत रूप है। ज्यामितीय परिप्रेक्ष्य से यह [[स्टोक्स प्रमेय|व्यापकीकृत स्टोक्स प्रमेय]] की विशेष अवस्था है।

[[चित्र:Residue theorem illustration.png|right|250px|thumb|कथन का चित्रण।]]

इसका कथन निम्न प्रकार है:

माना ''U'' [[सम्मिश्र समतल]] में [[एकशः सम्बद्ध]] [[विवृत उपसमुच्चय]] है और ''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>, ''U'' पर परिमित बिन्दु हैं और ''f'' एक [[फलन]] है जो ''U'' \ {''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>} पर परिभाषित और [[होलोमार्फिक फलन|होलोमार्फिक]] है। यदि γ, ''U'' में [[चापकलनीय वक्र]] है जो कहीं भी ''a''<sub>''k''</sub> से नहीं मिलता और इसका आरम्भिक बिन्दु ही इसका अन्तिम बिन्दु है, तो

:<math>\oint_\gamma f(z)\, dz =
2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{I}(\gamma, a_k) 
\operatorname{Res}(f, a_k). </math>

यदि γ एक [[अभिविन्यास वक्र|धनात्मक अभिविन्यासित]] [[जोरदाँ वक्र|सरल संवृत वक्र]] है, I(γ, ''a''<sub>''k''</sub>) = 1
यदि ''a''<sub>''k''</sub> γ के अन्दर स्थित है और् 0 यदि ऐसा नहीं है, अतः
:<math>\oint_\gamma f(z)\, dz =
2\pi i \sum \operatorname{Res}(f, a_k) </math>
यहां योज्यचर ''k'' है जिसके लिए ''a''<sub>''k''</sub> γ के अंदर स्थित है।
== ये भी देखें==
* [[कौशी समाकल सूत्र]]
== सन्दर्भ ==
; सामान्य सन्दर्भ
{{refbegin}}
* {{citation|authorlink=Lars Ahlfors|first = Lars|last = Ahlfors|title = Complex Analysis|publisher = McGraw Hill|year = 1979|ISBN = 0-07-085008-9}}
* {{citation|first=Dragoslav|last=Mitronivić|first2=Jovan|last2=Kečkić|title=The Cauchy method of residues: Theory and applications|publisher=D. Reidel Publishing Company|year=1984|ISBN=90-277-1623-4}}
* {{citation|authorlink=Ernst Leonard Lindelöf|first = Ernst|last=Lindelöf|title=Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions|publisher=Editions Jacques Gabay|year=1905|publication-date=1989|ISBN=2-87647-060-8}}
{{refend}}
{{टिप्पणीसूची}}

[[श्रेणी:गणित]]
[[श्रेणी:सम्मिश्र विश्लेषण]]