"द्विपद प्रमेय" (अनुभाग) सम्पादित करें

== न्यूटन का द्विपद प्रमेय ==
[[चित्र:Pascal's triangle 5.svg|right|thumb|200px|वस्तुतः द्विपद गुणांकों का मान [[मेरु प्रस्तार|पॉस्कल त्रिभुज]] के अवयवों के बराबर ही होता है।]]
अपने सरलतम रूप में द्विपद प्रमेय इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

:<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad\quad\quad(1)</math>

जहाँ ''x'' और ''y'' कोई भी [[वास्तविक संख्या]] या [[समिश्र संख्या]] हैं तथा ''n'' शून्य या कोई धनात्मक [[पूर्णांक]] है। उपरोक्त समीकरण (१) में आने वाले [[द्विपद गुणांक]], ''n'' के [[क्रमगुणित|फैक्टोरिअल]] के रूप में व्यक्त किये जा सकते हैं।

:<math>{n \choose k}=\frac{n!}{k!\, (n-k)!}.</math>

उदाहरण के लिये, '''2 ≤ n ≤ 5''' के लिये द्विपद प्रमेय का स्वरूप इस प्रकार है:
:<math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,</math>
:<math>(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,</math>
:<math>(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,</math>
:<math>(x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 +5xy^4 + y^5.\,</math>