"सदिश कलन" (अनुभाग) सम्पादित करें

== सदिश संक्रियाएँ (vector operations) ==

सदिश विश्लेषण की चार प्रमुख संक्रियाएं (कार्तीय निर्देशांक में) नीचे दी गयीं हैं। ये संक्रियाएं सदिश या अदिश क्षेत्र के उपर '''डेल् ऑपरेटर''' (<math>\nabla</math>) के प्रयोग से की जातीं हैं। 

=== ग्रेडिएन्ट (Gradient) ===

:<math> \operatorname{grad}~\varphi =\vec \nabla\varphi = \begin{pmatrix} \frac{\partial\varphi} {\partial x} \\[0.2cm] \frac{\partial\varphi}{\partial y} \\[0.2cm] \frac{\partial\varphi}{\partial z} \end{pmatrix}</math>

=== डाइवर्जेंस (Divergence) ===

:<math>\operatorname{div}~\vec F =\vec \nabla \cdot \vec F = 
\frac{\partial F_x}{\partial x} 
+ \frac{\partial F_y}{\partial y}+ \frac{\partial F_z}{\partial z}
</math>

=== कर्ल या रोटेशन (curl) ===

:<math>\operatorname{rot}~\vec F = \vec \nabla\times\vec F =
\begin{pmatrix}
 \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\[0.2cm]
 \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\[0.2cm]
 \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}
\end{pmatrix}</math>

=== लाप्लासिअन (Laplacian) ===

यह एक द्वितीय ऑर्डर का डिफरेंसिअल संक्रिया है। त्रि-बिमीय कार्तीय निर्देशांक तंत्र में इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

:<math>\Delta=\nabla^2 =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}</math>.

==== लापलासिअन के कुछ उपयोग ====
; [[प्वासों का समीकरण]] (Poisson's equation)
<math>{\nabla}^2 \varphi = f</math> 

; तनी हुई डोरी का कम्पन
<math>{\nabla}^2 \varphi(x, y, z, t) = \frac{1}{c^2}\cdot\frac{\partial^2 \varphi(x, y, z, t)}{\partial t^2}</math>