"टेलर श्रेणी" (अनुभाग) सम्पादित करें

== उदाहरण ==
किसी [[बहुपद]] की मैक्लारिन्स श्रेणी स्वयं वह बहुपद ही है।

{{nowrap|(1 &minus; ''x'')<sup>&minus;1</sup>}} का ''x'' = 0 पर मैक्लारिन्स श्रेणी निम्नलिखित [[गुणोत्तर श्रेणी]] होगी:

:<math>1+x+x^2+x^3+\cdots\!</math>

अतः ''x''<sup>&minus;1</sup> की बिन्दु {{nowrap|''a'' {{=}} 1}} पर टेलर श्रेणी यह होगी:

:<math>1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots.\!</math>

उपरोक्त मैक्लारिन्स श्रेणी को समाकलित करने पर हमे {{nowrap|log(1 &minus; ''x'')}} के लिए मैक्लारिन्स श्रेणी मिल जाएगी, जहाँ ''log'' से मतलब [[प्राकृतिक लघुगणक]] से है।

:<math>-x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4-\cdots\!</math>

इसी प्रकार, log(''x'') की बिन्दु {{nowrap|''a'' {{=}} 1}} पर टेलर श्रेणी यह होगी:

:<math>(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{3}(x-1)^3-\frac{1}{4}(x-1)^4+\cdots,\!</math>

अधिक व्यापक रूप में, फलन log(''x'') का किसी बिन्दु <math>a = x_{0}</math> पर टेलय श्रेणी यह होगी:

: <math> \log (x_0) + \frac{1}{x_0} (x - x_0) - \frac{1}{x_0^2}\frac{(x - x_0)^2}{2} + \cdots.</math>

[[चरघातांकी फलन]] e<sup>''x''</sup> के लिए बिन्दु ''a''&nbsp;= 0 पर तेलर श्रेणी यह होगी:

:<math>1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots\! = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.</math>

उपरोक्त प्रसार इस कारण सत्य है क्योंकि e<sup>''x''</sup> का x के सापेक्ष अवकलज भी e<sup>''x''</sup> ही है तथा e<sup>0</sup> equals&nbsp;1.