"लघुगणक" (अनुभाग) सम्पादित करें

== लघुगणकों के गुण ==
जब ''x'' और ''b'' दोनो धनात्मक [[वास्तविक संख्या]]एँ हों तो, log<sub>''b''</sub>(''x'') का मान एक अद्वितीय वास्तविक संख्या होती है। आधार ''b'' का [[निरपेक्ष मान]] 0 या 1 को छोड़कर कुछ भी हो सकता है। आधार के रूप में प्रायः 10, e या 2 को लिया जाता है जिनके अपने-अपने उपयोग-क्षेत्र हैं। वास्तविक संख्याओं तथा [[समिश्र संख्या]]ओं के लघुगणक पारिभाषित हैं।

निम्नलिखित परिणाम लघुगणक की परिभाषा से सीधे ही आ जाते हैं-
: <math>a^{\log_a b} = b</math>,

: <math>\log_a 1 = 0</math>,

: <math>\log_a a = 1</math>.

: <math>\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c</math>,
अतः
: <math>\log_a \tfrac{b}{c} = \log_a b - \log_a c</math>,
तथा
: <math>\log_a b^c = c\cdot \log_a b</math>,

: <math>\log_a \sqrt[n]{b^c} = \tfrac{c}{n} \log_a b</math>,
अन्ततः
: <math>\log_{a^n} b= \tfrac{1}{n} \log_a b</math>,

: <math>\log_a b = \tfrac{1}{\log_b a}</math>,
इसलिये
: <math>\log_a b \cdot \log_b a = 1</math>,
जिसकी एक विशेष स्थिति निम्नलिखित है-
: <math>\ln{10} \cdot \log e =1</math>.

उपरोक्त से निम्नलिखित [[गणितीय सर्वसमिका|सर्वसमिका]] (equality) प्राप्त होती है-
: <math>\frac{\log_b x}{\log_b a} = \log_a x</math>
अथवा:
: <math>\log_b x=\log_b a \log_a x</math>

; सारांश और उदाहरण

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! !! सूत्र !! उदाहरण
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| गुणनफल || <math>\log_b(x y) = \log_b x + \log_b y</math>
| <math>\log_3 243 = \log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27 = 2 + 3 = 5</math>
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| भागफल || <math>\log_b \!\frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y</math>
| <math>\log_2 16 = \log_2 \!\frac{64}{4} = \log_2 64 - \log_2 4 = 6 - 2 = 4</math>
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| घात (पॉवर) || <math>\log_b\left(x^p\right) = p \log_b x</math>
| <math>\log_2 64 = \log_2 \left(2^6\right) = 6 \log_2 2 = 6</math>
|-
| [[मूल]] || <math>\log_b \sqrt[p]{x} = \frac{\log_b x}{p}</math>
| <math>\log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5</math>
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