"समिश्र संख्या" (अनुभाग) सम्पादित करें

== पोलर स्वरूप (पोलर फॉर्म) ==
समिश्र संख्या ''z''&nbsp;=&nbsp;''x'' + ''iy'' को ध्रुवीय निर्देशांकों के रूप में भी निरूपित कर सकते हैं। ध्रुवीय निर्देशांक ''r''&nbsp;=&nbsp;|''z''|&nbsp;≥&nbsp;0, को समिश्र संख्या का [[निरपेक्ष मान]] (absolute value) या [[मापांक]] (modulus) कहते हैं। इसी प्रकार ''φ''&nbsp;=&nbsp;arg(''z'') को ''z'' का [[कोणांक]] (argument) कहते हैं।

=== कार्तिय स्वरूप से ध्रुवीय स्वरूप में परिवर्तन ===

:<math>r = |z| = \sqrt{x^2+y^2}</math>
:<math>\varphi = \arg(z) = \operatorname{atan2}(y,x)</math>

जहाँ:
<math>\operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases}
   \arctan\left(\frac{y}{x}\right)       & \mbox{if } x > 0\\
   \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
   \arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
   \frac{\pi}{2}                         & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
  -\frac{\pi}{2}                         & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\
   \text{undefined}                      & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0.
\end{cases}</math>

कोणांक ''φ'' = कोणांक मुख्य मान (−π, +π] के बीच देता है। किन्तु यदि ''φ'' का ऋणात्मक मान नहिं चाहिये बल्कि [0, 2π) के बीच में चाहिये तो उस ऋणात्मक मान में 2π जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है।

=== ध्रुवीय से कार्तीय स्वरूप में परिवर्तन ===
:<math>x = r \cos \varphi</math>
:<math>y = r \sin \varphi</math>

=== समिश्र संख्या का पोलर स्वरूप (Notation of the polar form) ===
निम्नलिखित रूप ''ध्रुवीय स्वरूप'' कहलाता है:
:<math> z = r\, (\cos \varphi + i\sin \varphi)\,</math>
इसे '''cis φ ''' से भी निरुपित करते हैं जो cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ'' का संक्षिप्त रूप है।

[[यूलर का सूत्र]] (Euler's formula) का प्रयोग करके इसे निम्नलिखित तरीके से भी लिख सकते हैं:
:<math> z = r\,\mathrm{e}^{i \varphi}\,</math>
इस स्वरूप को ''इक्सपोनेंशियल रूप''' (exponential form) कहते हैं।

[[एलेक्ट्रॉनिकी]] में किसी [[फेजर]] (phasor) के लिये समिश्र संख्या के कोणीय निरूपण का बहुधा प्रयोग होता है। जिसमें ''A'' आयाम एवं ''θ'' '''[[कला]]''' (फेज) है।
:<math> A \angle \theta = A e ^ {j \theta }</math>
ध्यान रहे कि एलेक्ट्रॉनिकी और विद्युत अभियांत्रिकी में ''i'' के बजाय ''j'' का प्रयोग किया जाता है क्योंकि ''i'' के द्वारा [[विद्युत धारा]] का निरुपण किया जाता है।