"0.999..." (अनुभाग) सम्पादित करें

==विश्लेषणात्मक प्रमाण==
चूंकि 0.999 का प्रश्न गणित के औपचारिक विकास को प्रभावित नहीं करता है, इसीलिए इसे तब तक स्थगित किया जा सकता है जब तक कि वास्तविक विश्लेषण के मानक सिद्धांत साबित नहीं हो जाते। एक आवश्यकता वास्तविक संख्याओं को चिह्नित करने के लिए है, जिसे दशमलव संकेतन में लिखा जा सकता है, जिसमें एक वैकल्पिक चिन्ह, एक पूर्णांक का एक पूर्ण अनुक्रम, एक पूर्णांक भाग, एक दशमलव विभाजक और एक भिन्नात्मक भाग बनाने वाले अंकों का एक क्रम होता है।  0.999... पर चर्चा करने के उद्देश्य से पूर्णांक भाग को b0 के रूप में संक्षेपित किया जा सकता है और नकारात्मक को अनदेखा किया जा सकता है, जिससे कि एक दशमलव विस्तृत रूप ले सके।
{{block indent|1=<math>b_0.b_1b_2b_3b_4b_5 \dots.</math>}}

पूर्णांक भाग के विपरीत अंश भाग, बहुत से अंकों तक सीमित नहीं है। यह एक स्थितिगत संकेतन है, इसलिए उदाहरण के लिए 500 में अंक 5, 50 में 5 के रूप में दस गुना अधिक योगदान देता है, और 0.05 में 5 दसवें भाग के रूप में उतना योगदान देता है जितना 0.5 में 5।

=== अनंत श्रृंखला और क्रम ===
शायद दशमलव विस्तार का सबसे आम विकास उन्हें अनंत शृंखला के रूप में परिभाषित करना है। सामान्यतः
{{block indent|1=<math>b_0 . b_1 b_2 b_3 b_4 \ldots = b_0 + b_1\left({\tfrac{1}{10}}\right) + b_2\left({\tfrac{1}{10}}\right)^2 + b_3\left({\tfrac{1}{10}}\right)^3 + b_4\left({\tfrac{1}{10}}\right)^4 + \cdots .</math>}}

0.999... के लिए एक ज्यामितीय श्रृंखला से संबंधित अभिसरण प्रमेय को लागू किया जा सकता है:<ref>Rudin p.&nbsp;61, Theorem 3.26; J. Stewart p.&nbsp;706</ref>
{{block indent|1=If <math>|r| < 1 </math> then <math>ar+ar^2+ar^3+\cdots = \frac{ar}{1-r}.</math>}}