"फ़ूर्ये श्रेणी" (अनुभाग) सम्पादित करें

=== फुरिअर श्रेणी का एक सरल उदाहरण ===
[[चित्र:Periodic identity.png|thumb|right| एक आरीदाँत फलन (sawtooth function) का आरेख]]
[[चित्र:Periodic identity function.gif|thumb|right|आरीदाँत फलन के लिये फुरिअर श्रेणी के प्रथम पाँच पदों के योग (एक पद, दो पदों का योग, तीन पदों का योग... आदि) का चलायमान (animated) प्रदर्शन]]

माना कि दिया हुआ फलन '''आरीदाँत फलन''' (sawtooth function) है जिसे निम्नवत गणितीय रूप से प्रकट कर सकते हैं:

:<math>f(x) = x, \quad \mathrm{for} \quad -\pi < x < \pi,</math>
:<math>f(x + 2\pi) = f(x), \quad \mathrm{for} \quad -\infty < x < \infty.</math>

इस फलन के लिये फुरिअर गुणांक इस प्रकार होंगे:

:<math>\begin{align}
a_n &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)\,dx = 0. \\
b_n &{}= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)\, dx = 2\frac{(-1)^{n+1}}{n}.\end{align}</math>

'''अत:'''

:<math>
\begin{align}
f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(nx\right)+b_n\sin\left(nx\right)\right] \\
&=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx), \quad \mathrm{for} \quad -\infty < x < \infty . \;\;\; (*)
\end{align}
</math>

[[चित्र:Synthesis square.gif|thumb|500px|]]

[[चित्र:Synthesis sawtooth.gif|thumb|500px|]]

[[चित्र:Synthesis triangle.gif|thumb|500px|]]