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=== उदाहरण २ === : <math>f(x)=\frac{x^3+16}{x^3-4x^2+8x}</math> After [[Polynomial long division|long-division]], we have : <math>f(x)=1+\frac{4x^2-8x+16}{x^3-4x^2+8x}=1+\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}</math> Since (−4)<sup>2</sup> − 4×8 = −16 < 0, the factor ''x''<sup>2</sup> − 4''x'' + 8 is irreducible, and the partial fraction decomposition over the reals has the shape : <math>\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-4x+8}</math> Multiplying through by ''x''<sup>3</sup> − 4''x''<sup>2</sup> + 8''x'', we have the polynomial identity : <math>4x^2-8x+16 = A(x^2-4x+8)+(Bx+C)x</math> Taking ''x'' = 0, we see that 16 = 8''A'', so ''A'' = 2. Comparing the ''x''<sup>2</sup> coefficients, we see that 4 = ''A'' + ''B'' = 2 + ''B'', so ''B'' = 2. Comparing linear coefficients, we see that −8 = −4''A'' + ''C'' = −8 + ''C'', so ''C'' = 0. Altogether, : <math>f(x)=1+2\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{x^2-4x+8}\right)</math> The following example illustrates almost all the "tricks" one would need to use short of consulting a [[computer algebra system]]'''.
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