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==अवकल समीकरणों का हल==
कुछ अवकल समीकरणों को वैश्लेषिक रीति से हल कर सकते हैं। किन्तु आंकिक रीति से अवकल समीकरणों का हल बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि एक तो इससे सभी समीकरणों का हल किया जा सकता है और दूसरा यह कि आधुनिक समय में कम्प्यूटर सर्वव्यापी भी है और अपरिहार्य भी। नीचे अवकल समीकरण के हल की कुछ वैश्लेषिक विधियाँ दी गयीं हैं-

=== जिनमें चरों को अलग-अलग किया जा सकता है===
माना निम्नलिखित अवकल समीकरण दिया हुआ है।
(a) <math>  {dy \over dx} = f(x,y)
</math> यदि इसका दांया पक्ष दो फलनों के गुणनफल के बराबर हो जिसमें एक फलन केवल x का फलन हो और दूसरा केवल y का। अर्थात् <math>
  {dy \over dx} = g(x)h(y),
</math> ऐसा होने पर समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं कि इसके एक पक्ष में केवल x और dx हों तथा दूसरे तरफ y और dy। निम्नलिखित उदाहरण देखिये-

==== उदाहरण १ ====
<math>
(1+x)dy-ydx=0
</math> का '''हल''' निकालें।

'''हल:''' इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>
  {dy \over y} = {dx \over (1+x)}
</math>,

<math>
  \int{dy \over y} = \int{dx \over (1+x)}
</math>

<math>
  ln|y| = ln|x+1|+c
</math>

<math>
y = e^{ln|x+1|+c} = e^{ln|x+1|}.e^{c}
</math>

<math>
y = |1+x|e^{c} = \pm e^{c}(1+x)
</math>

यहाँ संख्या <math>
\pm e^{c}
</math> को एक अन्य नियतांक D लिख सकते हैं, और अब इसका हल निम्नलिखित रूप में निरूपित हो जायेगा 

<math>
y = D(1+x)
</math>.

=== [[रैखिक अवकल समीकरण]] ===
निम्नलिखित अवकल समीकरण, nवें ऑर्डर का रैखिक अवकल समीकरण कहलाता है-
: <math>\, a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' +a_0(x)y=g(x)</math>

निम्नलिखित समीकरण प्रथम ऑर्डर का रैखिक समीकरण है-
: <math>{dy \over dx}+P(x)y=f(x)</math>

===अरैखिक अवकल समीकरण===

===सारांश===
{| class="wikitable"
|-
! !! अवकल समीकरण !! हल
|-
| '''1''' || <math>\frac{dy}{dx} = F(x)\,\!</math>

<math>dy= F(x) \, dx\,\!</math>

|| <math>y=\int F(x) \, dx\,\!</math>

|-
| '''2''' || <math>\frac{dy}{dx} = F(y)\,\!</math>

<math>dy= F(y) \, dx\,\!</math>
|| <math>x=\int \frac{dy}{F(y)}\,\!</math>

|-
| '''3''' || <math>H(y)\frac{dy}{dx} + Z(x)= 0\,\!</math>

<math>H(y) \, dy+ Z(x) \, dx =0\,\!</math>

|| <math>\int H(y) \, {dy}+\int Z(x) \, {dx} = C\,\!</math>
|-
| '''4''' || <math>\frac{dy}{dx} + H(x)y+Z(x)= 0\,\!</math>

<math>dy + H(x)y \, dx+Z(x) \, dx= 0\,\!</math>

|| <math>y = - e^{- U(x)} \int e^{U(x)}Z(x) \, {dx}\,,</math><br /><math>U(x) = \int H(x) \, dx\,\!</math>
|-

| '''5''' || <math>\frac{dy}{dx} = F \left( \frac{y}{x} \right ) \,\!</math> || <math> \ln Cx = \int \frac{ d r}{F(r) - r} \, \! </math>

<math> r = y/x \,\! </math>

|-

| '''6''' || <math>\frac{d^2y}{dx^2} = F(y) \,\!</math> || <math> x = \pm \int \frac{ d y}{\sqrt{2 \int F(y) \, d y + C_1}} + C_2 \, \! </math>
|-

| '''7''' || <math> H(x,y) \frac{dy}{dx} + Z(x,y) = 0 \,\!</math>

<math> H(x,y) \, {dy} + Z(x,y) \, {dx} = 0 \,\!</math>

|| <math> \frac{\partial H}{\partial x} = \frac{\partial Z}{\partial y} \, \! </math> हो तो इसका हल:

<math> F(x,y) = \int \left [ H(x,y) \, d y + Z(x,y) \, d x \right ] + \gamma (y) + \chi (x) = C \, \! </math>

|-

| '''8''' || <math>\frac{d^2y}{dx^2} + I\frac{dy}{dx} + Ly = 0\,\!</math> ||

<math>I^2 > 4L\,\!</math> हो तो:

<math>y=Ne^{ \left ( -I+\sqrt{I^2 - 4L} \right )\frac{x}{2}} + Me^{-\left ( I+\sqrt{I^2 - 4L} \right )\frac{x}{2}}\,\!</math>

<math>I^2 = 4L\,\!</math> हो तो:

<math>y = (Ax + B)e^{-Ix/2}\,\!</math>

<math>I^2 < 4L\,\!</math> हो तो:

<math> y = e^{ -I\frac{x}{2}} \left [ P \sin{\left ( \sqrt{\left | I^2-4L \right |}\frac{x}{2} \right )} + Q\cos{\left ( \sqrt{\left | I^2-4L \right |}\frac{x}{2} \right )} \right ] \,\!</math>

|}