"वितत भिन्न" सम्पादित करें

{| style="width:180px;border:1px solid #d0d0d0; margin:0 2px 1em 1em;float:right" cellspacing="3" cellpadding="5"
| align=center border=1px solid #d0d0d0 | <math> \sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+\,\cdots}}}</math>
|-
|<small>अनन्त वितत भिन्न के रूप में विस्तार का एक उदाहरण</small>
|}
[[गणित]] में निम्नलिखित प्रकार के [[व्यंजक]] (expression) को '''वितत भिन्न''' (continued fraction) कहते हैं।
:<math>x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}} </math>

यहाँ, ''a''<sub>0</sub> एक [[पूर्णांक]] है तथान्य सभी संख्याएँ ''a''<sub>''i''</sub> (''i'' ≠ 0) धनात्मक [[पूर्णांक]] हैं। यदि उपरोक्त वितत भिन्न में [[अंश]] एवं [[हर]] का मान कुछ भी होने की स्वतंत्रता दे दी जाय (जैसे [[फलन]] होने की छूट) तो इसे 'सामान्यीकृत वितत भिन्न' कह सकते हैं।

== उपयोग ==
* '''कैलेण्डर सिद्धान्त''' - ग्रेगरी कैलेण्डर के किस वर्ष में ३६५ दिन और किस वर्ष में ३६६ दिन होंगे,। इसको निर्धारित करने का आधार वितत भिन्न है।
* अपरिमेयता (irrationality) का प्रमाण
* [[पेल का समीकरण|पेल के समीकरण]] का हल
* आर्थोगोनल बहुपदों के वैशीष्टीकरण में

== कुछ उपयोगी प्रमेय ==

== इतिहास ==
प्राचीन काल से ही वितत भिन्नों का उपयोग किया जा रहा है।

[[आर्यभट]] ने प्रथम डिग्री तथा द्वितीय डिग्री वाले कुछ [[अनिर्धार्य समीकरण|अनिर्धार्य समीकरणों]] के हल वितत भिन्न के रूप में ही दिये हैं। उसके बाद [[नारायण पण्डित (गणितज्ञ)|नारायण पण्डित]] (१३५० ई) ने अपने गणित ग्रन्थ [[गणितकौमुदी]] में '''N x<sub>2</sub> + K<sub>2</sub> = y<sub>2</sub>'''  प्रकार के अनिर्धार्य समीकरणों का हल आवर्ती वितत भिन्न की सहायता से निकाला है। उनकी [[कलनविधि]] (अल्गोरिद्म) नीचे के श्लोक में दिया गया है-<ref>[https://www.math10.com/en/maths-history/math-history-in-india/ganita.html Ganita Kaumudi and the Continued Fraction] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160819224912/https://www.math10.com/en/maths-history/math-history-in-india/ganita.html |date=19 अगस्त 2016 }} (Pradip Kumar Majumdar)</ref>

:'' hrasvajyesthaksepan kramasastesamadho nyaset tanstu
:'' anyanyesam nyasa stasya bhaved bhavana-nama'' ''  || 2 ||
:'' vajrabhyasau hrasva jyesthakayoh samyutirbhaved hrasvam
:'' laghughatah prakrtihato jyesthavadhenanvito jyestham''  || 3 ||
:'' ksiptorghatah ksepah syad vajrabhyasayorviseso va
:'' hrasvam lavdhorghatah prakrtighno jyesthyosca vadhah   || 4 ||
:'' tadvivaram jyesthapadam ksepah ksiptyoh prajayate ghatah   412

सोलहवीं शताब्दी में राफेल बम्बेली ने वितत भिन्न के रूप में [[वर्गमूल]] निकाला। किन्तु १७वीं शताब्दी के अन्तिम तथा १८वीं शताब्दी के आरम्भिक काल में जाकर ही सतत भिन्न का आधार तैयार हुआ। १८वीं शताब्दी के आरम्भ में सतत भिन्न अपने आप में अध्यय्न का एक क्षेत्र बन गया था।

== इन्हें भी देखें ==
* [[दशमलव पद्धति|दशमलव भिन्न]]
* [[अनन्त श्रेणी]] (Infinite series)
* [[गणित कौमुदी]]

==सन्दर्भ==
{{टिप्पणीसूची}}

== बाहरी कड़ियाँ ==
* Linas Vepstas [https://web.archive.org/web/20090601123506/http://linas.org/math/chap-gap/chap-gap.html Continued Fractions and Gaps] (2004) reviews chaotic structures in continued fractions.
* [https://web.archive.org/web/20100125145649/http://www.cut-the-knot.org/blue/ContinuedFractions.shtml Continued Fractions on the Stern-Brocot Tree] at [[cut-the-knot]]
* François Balsalobre [https://web.archive.org/web/20060107102309/http://fbalsalo.club.fr/cfc.html cfc - a (cli) continued fraction calculator] for POSIX and Cygwin
* [https://web.archive.org/web/20090504105639/http://www.math.sunysb.edu/~tony/whatsnew/column/antikytheraI-0400/kyth3.html The Antikythera Mechanism I: Gear ratios and continued fractions]
* [https://web.archive.org/web/20030202011209/http://www.tweedledum.com/rwg/cfup.htm Continued Fraction Arithmetic] Gosper's first continued fractions paper, unpublished. Cached on the [[Internet Archive]]'s [[Internet Archive#Wayback Machine|Wayback Machine]]
* {{MathWorld |title=Continued Fraction |urlname=ContinuedFraction}}
* [https://web.archive.org/web/20090207201833/http://demonstrations.wolfram.com/ContinuedFractions/ Continued Fractions] by [[Stephen Wolfram]] and [https://web.archive.org/web/20090416163431/http://demonstrations.wolfram.com/ContinuedFractionApproximationsOfTheTangentFunction/ Continued Fraction Approximations of the Tangent Function] by Michael Trott, [[Wolfram Demonstrations Project]].

{{संख्या सिद्धान्त}}
{{भारतीय गणित}}


[[श्रेणी:गणित]]