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2021-03-07T19:58:48Z

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किसी अशून्य [[वर्ग मैट्रिक्स]] <math>A</math> का '''अभिलाक्षणिक सदिश''' (आइगेन वेक्टर / eigenvector) <math>v</math> वह अशून्य सदिश है जो निम्नलिखित विशेषता रखता है-
:<math>A v = \lambda v</math>

जहाँ <math>\lambda</math> एक संख्या है। इसे <math>A</math> का '''अभिलाक्षणिक मान''' (आइगेन मान / eigenvalue) कहा जाता है। '''

== उदाहरण ==
:<math>A = \begin{bmatrix} 3 & 1\\1 & 3 \end{bmatrix},</math>
के लिए सदिश
:<math>v = \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \end{bmatrix}</math>
अभिलाक्षणिक सदिश है जिसका अभिलाक्षणिक मान 2 है। क्योंकि,
:<math>A v = \begin{bmatrix} 3 & 1\\1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \cdot 4 + 1 \cdot (-4) \\ 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-4) \end{bmatrix}</math>
::<math> = \begin{bmatrix} 8 \\ -8 \end{bmatrix} = 2 \cdot \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \end{bmatrix}.</math>
लेकिन निम्नलिखित सदिश
:<math>v = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}</math>
अभिलाक्षणिक सदिश '''नहीं है''' क्योंकि
:<math>\begin{bmatrix} 3 & 1\\1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix},</math>
तथा यह सदिश मूल सदिश <math>v</math> का कोई गुणक (multiple) नहीं है।

=== दूसरा उदाहरण ===
मैट्रिक्स
:<math>A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix},</math>
हो तो,
:<math>A \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix} = 0 \cdot \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix},\quad\quad</math>
:<math>A \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\3 \end{bmatrix} = 3 \cdot \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix},\quad\quad</math> तथा
:<math>A \begin{bmatrix} 1\\2\\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\4\\0 \end{bmatrix} = 2 \cdot \begin{bmatrix} 1\\2\\0 \end{bmatrix}.</math>
अतः सदिश <math>[1,0,0]^\top</math>, <math>[0,0,1]^\top</math> और <math>[1,2,0]^\top</math> सदिश <math>A</math> के अभिलाक्षणिक सदिश हैं तथा संगत अभिलाक्षणिक मान क्रमशः 0, 3 और 2 हैं। (यहाँ संकेत <math>{}^\top</math> मैट्रिक्स के ट्रांसपोज का प्रतीक है।

{{विज्ञान-आधार}}

[[श्रेणी:गणित]]
[[श्रेणी:नियंत्रण तंत्र]]
[[श्रेणी:चित्र जोड़ें]]

अभिलक्षणिक मान तथा अभिलक्षणिक सदिश - अवतरण इतिहास

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