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2019-02-03T14:54:04Z

रोडमैप के अनुसार हटाए गए गणित सिंटैक्स को बद

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[[गणित]] में '''डिस्क्रीट टाइम फुरिअर ट्रान्सफार्म''' या '''डीटीएफटी''' (discrete-time Fourier transform or '''DTFT'''), [[फुरिअर विश्लेषण]] के कई रुपों में से एक रूप है। यह अनन्त तक परिभाषित किसी अनावर्ती (नॉन्-पेरिऑडिक) डिस्क्रीट-टाइम सेक्वेंस को रूपानतरित करता है। इसे यह भी कहते हैं कि समय-डोमेन का आंकड़ा आवृत्ति-डोमेन में बदल गया। डीटीएफटी द्वारा प्राप्त आवृत्ति-डोमेन का आंकड़ा सतत (कांटिन्युअस) एवं आवर्ती होता है।

== डीटीएफटी की परिभाषा ==

यदि कोई वास्तविक (real) या समिश्र (complex) संख्याओं का समुच्चय ''':''' <math>x[n], \; n\in\mathbb{Z}</math> ([[पूर्णांक]]), दिया हो तो <math>x[n]\,</math> का '''डीटीएफटी''' प्रायः इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

<math>X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \,e^{-i \omega n}.</math>

== व्युत्क्रम रुपान्तर (Inverse transform) ==

निम्नलिखित रुपान्तर करने पर डिस्क्रीट-टाइम सेक्वेंस फिर से प्राप्त हो जायेगा:

:{|
|<math>x[n]\,</math>
|<math>= \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi} X(\omega)\cdot e^{i \omega n} \, d \omega</math>
|-
|
|<math>= T \int_{-\frac{1}{2T}}^{\frac{1}{2T}} X_T(f)\cdot e^{i 2 \pi f nT}\, df.</math>
|}

The integrals span one full period of the DTFT, which means that the x[n] samples are also the coefficients of a [[Fourier series#Complex Fourier coefficients|Fourier series expansion]] of the DTFT.   Infinite limits of integration change the transform into a [[continuous Fourier transform|continuous-time Fourier transform]] [inverse], which produces a sequence of Dirac impulses. That is''':'''

:<math>
\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty X_T(f)\cdot e^{i 2 \pi f t}\, df
&=\int_{-\infty}^\infty \left(T \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT)\ e^{-i 2\pi f T n}\right)\cdot e^{i 2 \pi f t}\, df \\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} T\cdot x(nT) \int_{-\infty}^\infty e^{-i 2\pi f T n}\cdot e^{i 2 \pi f t}\, df \\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \delta(t - n T).
\end{align}
</math>

== डीटीएफटी की सूची ==

नीचे कुछ मानक डिस्क्रीट टाइम सेक्वेंस एवं उनके डीटीएफटी रुपानतर दिये हुए हैं। इसमें प्रयुक्त प्रतीकों का अर्थ निम्नवत है:
* <math>n \!</math> is an integer representing the discrete-time domain (in samples)
* <math>\omega \!</math> is a real number in <math>(-\pi,\ \pi)</math>, representing continuous angular frequency (in radians per sample).
** The remainder of the transform <math>(|\omega| > \pi \,)</math> is defined by''':''' <math>X(\omega + 2\pi k) = X(\omega)\,</math>
* <math>u[n] \!</math> is the discrete-time [[Heaviside step function#Discrete form|unit step function]]
* <math>\operatorname{sinc}(t) \!</math> is the normalized [[sinc function]]
* <math>\delta (\omega) \!</math> is the [[Dirac delta function]]
* <math>\delta [n] \!</math> is the [[Kronecker delta]] <math>\delta_{n,0} \!</math>
* <math> \operatorname{rect}(t) </math> is the [[rectangle function]] for arbitrary real-valued ''t'':
::<math>\mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt]
\frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt]
1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}
\end{cases} </math>
* <math>\operatorname{tri}(t) </math> is the [[triangle function]] for arbitrary real-valued ''t'':
::<math>\operatorname{tri}(t) = \land (t) =
\begin{cases}
1 + t; & - 1 \leq t \leq 0 \\
1 - t; & 0 < t \leq 1 \\
0 & \mbox{otherwise}
\end{cases} </math>

{| class="wikitable"
|-
! Time domain <math> x[n] \, </math>
! Frequency domain <math> X(\omega) \, </math>
! Remarks
|-
| <math>\delta [n] \!</math>
| <math>1 \!</math>
|
|-
| <math>\delta [n - M] \!</math>
| <math>e^{-i \omega M} \!</math>
| integer ''M''
|-
|<math>\sum_{m = -\infty}^{\infty} \delta[n - M m] \,</math>
|<math>\sum_{m = -\infty}^{\infty} e^{-i \omega M m} = \frac{1}{M}\sum_{k = -\infty}^{\infty} \delta \left(\frac{\omega}{2\pi} - \frac{k}{M} \right) \,</math>
| integer ''M''
|-
| <math>u[n]\!</math>
| <math>\frac{1}{1-e^{-i \omega}} \!</math>
|
|-
| <math>e^{-ian} \!</math>
| <math> 2\pi \delta (\omega + a) \, </math>
| real number ''a''
|-
| <math>\cos (a n) \!</math>
| <math>\pi \left[ \delta (\omega - a) + \delta (\omega + a) \right]</math>
| real number ''a''
|-
| <math>\sin (a n) \!</math>
| <math>\frac{\pi}{i} \left[ \delta (\omega - a) - \delta (\omega + a) \right]</math>
| real number ''a''
|-
| <math> \mathrm{rect} \left[ { (n - M/2) \over M } \right] </math>
| <math> { \sin[ \omega (M+1) / 2 ] \over \sin(\omega / 2) } \, e^{ -i \omega M / 2 }</math>
| integer ''M''
|-
| <math>\operatorname{sinc} [(a + n)]</math>
| <math>e^{i a \omega} \!</math>
| real number ''a''
|-
| <math>W\cdot \operatorname{sinc}^2(W n)\,</math>
| <math>\operatorname{tri} \left({ \omega \over 2\pi W } \right)</math>
| real number ''W'' <math>0 < W \le 0.5</math>
|-
| <math>W\cdot \operatorname{sinc} [ W (n + a)]</math>
| <math>\operatorname{rect} \left({ \omega \over 2\pi W } \right) \cdot e^{j a \omega}</math>
| real numbers ''W'', ''a'' <math>0 < W \le 1</math>
|-
| <math>
\begin{cases}
0 & n=0 \\
\frac{(-1)^n}{n} & \mbox{elsewhere}
\end{cases}
</math>
| <math>j \omega</math>
|it works as a [[differentiator]] filter
|-
| <math>\frac{W}{(n + a)} \left\{ \cos [ \pi W (n+a)] - \operatorname{sinc} [ W (n+a)] \right\}</math>
| <math>j \omega \cdot \operatorname{rect} \left({ \omega \over \pi W } \right) e^{j a \omega}</math>
| real numbers ''W'', ''a'' <math>0 < W \le 1</math>
|-
| <math>\frac{1}{\pi n^2} [(-1)^n - 1]</math>
| <math>| \omega | \!</math>
|
|-
| <math>
\begin{cases}
0; & n \mbox{ odd} \\
\frac{2}{\pi n} ; & n \mbox{ even}
\end{cases}
</math>
| <math>
\begin{cases}
j & \omega < 0 \\
0 & \omega = 0 \\
-j & \omega > 0
\end{cases}
</math>
|[[Hilbert transform]]
|-
| <math>\frac{C (A + B)}{2 \pi} \cdot \operatorname{sinc} \left[ \frac{A - B}{2\pi} n \right] \cdot \operatorname{sinc} \left[ \frac{A + B}{2\pi} n \right]</math>
| [[चित्र:Trapezoid signal.png|250px]]
| real numbers ''A'', ''B'' complex ''C''
|}

== डीटिएफटी के गुणधर्म ==

This table shows the relationships between generic discrete-time Fourier transforms.
We use the following notation:
* <math>*\!</math> is the [[convolution]] between two signals
* <math>x[n]^*\!</math> is the [[complex conjugate]] of the function ''x[n]''
* <math>\rho_{xy} [n]\!</math> represents the [[correlation]] between ''x[n]'' and ''y[n]''.

The first column provides a description of the property, the second column shows the function in the time domain, the third column shows the spectrum in the frequency domain:

{| class="wikitable"
|-
! Property
! Time domain <math>x[n] \!</math>
! Frequency domain <math>X(\omega) \!</math>
! Remarks
|-
| Linearity
| <math>a x[n] + b y[n] \!</math>
| <math> a X(e^{i \omega}) + b Y(e^{i \omega}) \!</math>
|
|-
| Shift in time
| <math>x[n - k] \!</math>
| <math>X(e^{i \omega}) e^{-i \omega k} \!</math>
| integer ''k''
|-
| Shift in frequency (modulation)
| <math>x[n]e^{ian} \!</math>
| <math>X(e^{i (\omega-a)}) \!</math>
| real number ''a''
|-
| Time reversal
| <math>x[- n] \!</math>
| <math>X(e^{-i \omega}) \!</math>
|
|-
| Time conjugation
| <math>x[n]^* \!</math>
| <math>X(e^{-i \omega})^* \!</math>
|
|-
| Time reversal & conjugation
| <math>x[-n]^* \!</math>
| <math>X(e^{i \omega})^* \!</math>
|
|-
| Derivative in frequency
| <math>\frac{n}{i} x[n] \!</math>
| <math>\frac{d X(e^{i \omega})}{d \omega} \!</math>
|
|-
| Integral in frequency
| <math>\frac{i}{n} x[n] \!</math>
| <math>\int_{-\pi}^{\omega} X(e^{i \vartheta}) d \vartheta \!</math>
|
|-
| Convolve in time
| <math>x[n] * y[n] \!</math>
| <math>X(e^{i \omega}) \cdot Y(e^{i \omega}) \!</math>
|
|-
| Multiply in time
| <math>x[n] \cdot y[n] \!</math>
| <math>\frac{1}{2 \pi} X(e^{i \omega}) * Y(e^{i \omega}) \!</math>
|
|-
| Correlation
| <math>\rho_{xy} [n] = x[-n]^* * y[n] \!</math>
| <math>R_{xy} (\omega) = X(e^{i \omega})^* \cdot Y(e^{i \omega}) \!</math>
|
|}
== सममिति के गुण (Symmetry Properties) ==

फुरिअर रुपान्तर, वास्तविक एवं काल्पनिक (real and imaginary) या सम एवं विषम (even and odd) के योग के रूप में व्यक्त की जा सकती है।
 
<math>X(e^{i \omega}) = X_R(e^{i \omega}) + iX_I(e^{i \omega}) \!</math>
 
'''या'''
 
<math>X(e^{i \omega}) = X_E(e^{i \omega}) + X_O(e^{i \omega}) \!</math>

{| class="wikitable"
|-
!Time Domain <math>x[n] \!</math>
!Frequency Domain <math>X(e^{i \omega}) \!</math>
|-
| <math>x^*[n]\!</math>
| <math>X^*(e^{-i \omega}) \!</math>
|-
| <math>x^*[-n]\!</math>
| <math>X^*(e^{i \omega}) \!</math>
|}

[[श्रेणी:रूपान्तर]]
[[श्रेणी:गणित]]
[[श्रेणी:डीएसपी]]

डिस्क्रीट टाइम फुरिअर ट्रान्सफार्म - अवतरण इतिहास

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