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'''डिस्क्रीट फुरिअर रूपान्तर''' (discrete Fourier transform (DFT)) एक रूपान्तर है जो '''डिस्क्रीट-समय संकेतों''' को एक दूसरे रूप में बदल देता है। तकनीकी रूप से इसे समय-डोमेन संकेत को आवृत्ति-डोमेन संकेत में परिवर्तन के रूप में समझा जाता है। डिस्क्रीट फुरिअर रूपान्तर, डिस्क्रीट-टाइम फुरिअर रूपान्तर (DTFT) से भिन्न है। व्यावहारिक दृष्टि से डिस्क्रीट फुरिअर रूपान्तर की गणना किसी उपयुक्त [[त्वरित फुरिअर रूपान्तर]] (FFT) की सहायता से की जाती है।
[[File:Fourier transform time and frequency domains.gif|thumb|400px|समय और आवृत्ति डोमेन मे बदलने वाला फूरियर ट्रांसफोर्म।]]
== परिभाषा ==

डिस्क्रीट फुरिअर रूपानतर, ''N'' [[समिश्र संख्या|समिश्र संख्याओं]] की श्रेणी ''x''0, ..., ''x''''N''−1 को ''N'' दूसरी समिश्र संख्याओं ''X''0, ..., ''X''''N''−1 में बदल देता है। यह रूपानतर निम्नलिखित सम्बन्ध के अनुसार होता है:

:<math>X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2 \pi i}{N} k n} \quad \quad k = 0, \dots, N-1</math>

जहाँ <math>e^{\frac{2 \pi i}{N}}</math> इकाई का N-वां मूल (Nth root of Unity) है।

कभी-कभी इस रूपान्तर को <math>\mathcal{F}</math> से भी प्रदर्शित किया जाता है। जैसे - <math>\mathbf{X} = \mathcal{F} \left \{ \mathbf{x} \right \} </math> or <math>\mathcal{F} \left (\mathbf{x} \right)</math> or <math>\mathcal{F} \mathbf{x}</math>.

'''व्युत्क्रम डिस्क्रीट फुरिअर रूपानतर ''' (IDFT) निम्नलिखित तरीके से निकाला जाता है:

:<math>x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{\frac{2\pi i}{N} k n} \quad \quad n = 0,\dots,N-1.</math>

== प्रमुख उपयोग ==

* वर्णक्रम का विश्लेषण (Spectral analysis) करने में
* आंकडों को संप्रेषित करने में (Data compression)
* आंशिक अवकलज समीकरण (Partial differential equations) के हल के लिये
* बडे पूर्णांकों के गुणनफल निकालने में

== कुछ डिस्क्रीट-टाइम सिगनल एवं उनके डिस्क्रीट फुरिअर रूपान्तर ==

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|+ '''Some DFT pairs'''
|-
! <math>x_n = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X_k \cdot e^{i 2 \pi kn/N} </math>
! <math>X_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_n \cdot e^{-i 2 \pi kn/N} </math>
! Note
|-
| <math>x_n \cdot e^{i 2 \pi nl/N} \,</math>
| <math>X_{k-l}\,</math>
| rowspan="2"| Shift theorem
|-
| <math>x_{n-l}\,</math>
| <math>X_k \cdot e^{-i 2 \pi kl/N} </math>
|-
| <math>x_n \in \mathbb{R}</math>
| <math>X_k=X_{N-k}^*\,</math>
| Real DFT
|-
| <math>a^n\,</math>
| <math>\frac{1-a^N}{1-a \cdot e^{-i 2 \pi k/N} }</math>
|
|-
| <math>{N-1 \choose n}\,</math>
| <math>\left(1+e^{-i 2 \pi k/N} \right)^{N-1}\,</math>
|
|}

== इन्हें भी देखें ==
[[त्वरित फुरिअर रूपान्तर]]

== बाहरी कड़ियाँ ==
* [https://web.archive.org/web/20060714161751/http://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/mdft.html Mathematics of the Discrete Fourier Transform by Julius O. Smith III]
* [https://web.archive.org/web/20190925140738/http://fftw.org/ Fast implementation of the DFT - coded in C and under General Public License (GPL)]

[[श्रेणी:गणित]]
[[श्रेणी:आंकिक संकेत प्रसंस्करण]]
[[श्रेणी:आंकिक विश्लेषण]]
[[श्रेणी:चित्र जोड़ें]]

[[cs:Fourierova transformace#Diskrétní Fourierova transformace]]
[[fi:Fourier'n muunnos#Diskreetti Fourier'n muunnos]]
[[pt:Transformada de Fourier#Transformada discreta de Fourier]]

डिस्क्रीट फुरिअर रूपान्तर - अवतरण इतिहास

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