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{{No footnotes|date=जुलाई 2014}}{{कलन}}
गणित में '''प्रत्यावर्ती श्रेणी''' निम्न प्रकार की [[श्रेणी (गणित)|अनन्त श्रेणी]] है:
:<math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n</math> or <math>\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\,a_n</math>
जहाँ  ''n'' के सभी मानों के लिए ''a<sub>n</sub>'' > 0 है। एक व्यापक पद का चिह्नप्रत्यावर्ती रूप से धनात्मक और ऋणात्मक होता है।

== प्रत्यावर्ती श्रेणी परीक्षण ==
{{main|प्रत्यावर्ती श्रेणी परीक्षण}}
"लियबनिज़ परीक्षण" अथवा [[प्रत्यावर्ती श्रेणी परीक्षण]] के रूप में ज्ञात प्रमेय के अनुसार श्रेणी अभिसरीत होगी यदि और केवल यदि पद ''a<sub>n</sub>'' [[एकदिष्ट फलन|एकदिष्टतः]] शून्य की ओर अग्रसर हो।

उपपत्ति: माना कि अनुक्रम <math>a_n</math> शून्य की ओर अग्रसर है तथा यह एकदिष्टतः ह्रसमान है। यदि <math>m</math> विषम है और <math>m<n</math>, तब हम <math>S_m - S_n < a_{m}</math> निम्न प्रकार ज्ञात करते हैं:

: <math>
\begin{align}
S_m - S_n & =
\sum_{k=0}^m(-1)^k\,a_k\,-\,\sum_{k=0}^n\, (-1)^k\,a_k\ = \sum_{k=m+1}^n\, (-1)^k\,a_k \\
& =a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots+a_n\\
& =\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3}) - (a_{m+4}-a_{m+5}) -\cdots-a_n \le a_{m+1}\le a_{m}.
\end{align}
</math>

चूँकि <math>a_n</math> एकदिष्टतः ह्रसमान है अतः पद <math>-(a_m - a_{m+1})</math> ऋणात्मक है। अतः अन्त में हमें <math>S_m - S_n \le a_{m}</math> असमता प्राप्त होती है। इसी प्रकार यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि <math>-a_{m}\le S_m - S_n </math> है। चूँकि <math>a_{m}</math> शुन्य (<math>0</math>) की ओर अग्रसर है, कॉशी समीकरण के अनुसार आंशिक संकलन <math>S_m</math> प्राप्त होता है अर्थात श्रेणी अभिसरित होती है।
== सन्दर्भ ==
{{टिप्पणीसूची}}
*{{MathWorld|title=प्रत्यावर्ती श्रेणी|urlname=AlternatingSeries}}
[[श्रेणी:कलन]]
[[श्रेणी:वास्तविक विशलेषण]]
[[श्रेणी:गणितीय श्रेणी]]

प्रत्यावर्ती श्रेणी - अवतरण इतिहास

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