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'''ब्रह्मगुप्त सर्वसमिका''' भारतीय गणितज्ञ [[ब्रह्मगुप्त]] द्वारा है। यह [[गणितीय सर्वसमिका|सर्वसमिका]] दो योगों का गुणनफल, जिनमें प्रत्येक गुणक स्वयं दो वर्गों का योग हो, को दो वर्गों के योग के रूप में अभिव्यक्त करती है।
:<math>\begin{align}
\left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) & {}= \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2 \ \qquad\qquad(1) \\
& {}= \left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2.\qquad\qquad(2)
\end{align}</math>
उदाहरण के लिये,
:<math>(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.\,</math>
यह सर्वसमिका [[लाग्रेंज सर्वसमिका]] (Lagrange's identity) की विशेष स्थिति (special case) है।

ब्रह्मगुप्त ने इस सर्वसमिका को निम्नलिखित श्लोक में निबद्ध किया है-
: ''मूलं द्विधा इष्टवर्गाद् गुणकगुणाद् इष्ट युत विहिनान च ।
: ''आद्यवधो गुणकगुणः सह अन्त्यघातेन कृतं अन्त्यम् ॥
: ''वज्रवधैक्यं प्रथमं प्रक्षेपः क्षेपबधतुल्यः
: ''प्रक्षेपशोधकहृते मूले प्रक्षेपके रूपे॥

(अनुवाद : ‘From the square of an assumed number multiplied by the गुणक , add or subtract a desired quantity and obtain the root, and place
them twice। The product of the first [pair of roots] multiplied by the गुणक increased by the product of the last [pair of roots] is the [new] greater root
(अन्त्य-मूलम्)। The sum of the products of the cross-multiplication (वज्रवधैकम्) is the first [new] root (प्रथम-मूलम्). The [new] क्षेप is the product of similar additive or subtractive quantities. When the क्षेप is equal (तुल्य), the root [first or last] is to be divided by it to turn the [new] क्षेप into unity’)<ref>{{Cite web |url=http://www.insa.nic.in/writereaddata/UpLoadedFiles/IJHS/Vol52_1_2017_Art01.pdf |title=Indian Journal of History of Science,52.1 (2017) 1-16DOI:10.16943/ijhs/2017/v52i1/41294Some Features of the Solutions of कुट्टक and वर्गप्रकृति |access-date=4 मई 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180504225306/http://www.insa.nic.in/writereaddata/UpLoadedFiles/IJHS/Vol52_1_2017_Art01.pdf |archive-date=4 मई 2018 |url-status=dead }}</ref>

==ब्रह्मगुप्त सर्वसमिका का विस्तार==
ब्रह्मगुप्त सर्वसमिका का विस्तार करके २, ४, ८, १६ आदि वर्गों के लिये सर्वसमिकाएँ निकाली जा सकतीं हैं।

* '''ब्रह्मगुप्त-फिबोनाकी सर्वसमिका''':<ref>{{MathWorld|FibonacciIdentity|Fibonacci Identity}}</ref> (x₁²+x₂²) · (y₁²+y₂²) = z₁²+z₂²

* '''आयलर (Eulers) चतुःवर्ग सर्वसमिका''':<ref>{{MathWorld|EulerFour-SquareIdentity|Euler Four-Square Identity}}</ref> (x₁²+x₂²+x₃²+x₄²) · (y₁²+y₂²+y₃²+y₄²) = z₁²+z₂²+z₃²+z₄²

* '''डेगेन (Degens) अष्ट वर्ग सर्वसमिका''':<ref name=Degen>{{MathWorld|DegensEight-SquareIdentity|Degen's Eight-Square Identity}}</ref> (x₁²+x₂²+x₃²+…+x₈²) · (y₁²+y₂²+y₃²+…+y₈²) = z₁²+z₂²+z₃²+…+z₈²

* '''फिस्तर (Pfisters) षोडष वर्ग सर्वसमिका''':<ref>Tito Piezas III: [http://sites.google.com/site/tpiezas/0021c Pfister's 16-Square Identity] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160917055317/https://sites.google.com/site/tpiezas/0021c |date=17 सितंबर 2016 }}</ref> (x₁²+x₂²+x₃²+…+x₁₆²) · (y₁²+y₂²+y₃²+…+y₁₆²) = (z₁²+z₂²+z₃²+…+z₁₆²)

फिस्तर ने 1967 में सिद्ध किया कि सिद्धान्ततः २ के सभी पूर्णांक घातों (2ⁿ) के लिये सर्वसमिकाएँ प्राप्त की जा सकतीं हैं।

==उपयोग==
ब्रह्मगुप्त ने उपरोक्त सर्वसमिका का उपयोग वर्ग-प्रकृति (पेल का समिकरण) हल करने के लिए किया, जो निम्नलिखित है- ''x''2 − ''Ny''2 = 1. Using the identity in the form

:<math>(x_1^2 - Ny_1^2)(x_2^2 - Ny_2^2) = (x_1x_2 + Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 + x_2y_1)^2, </math>

ब्रह्मगुप्त दो 'त्रिक' (triples) (''x''1, ''y''1, ''k''1) तथा (''x''2, ''y''2, ''k''2) निर्मित करते थे जो समीकरण ''x''2 − ''Ny''2 = ''k'', के हल थे। इन दो त्रिकों से वे तीसरा त्रिक निर्मित करते थे-

:<math>(x_1x_2 + Ny_1y_2 \,,\, x_1y_2 + x_2y_1 \,,\, k_1k_2).</math>

इस प्रकार वे समीकरण ''x''2 − ''Ny''2 = 1 का एक हल से आरम्भ करते हुए अनन्त हल निकाल लेते थे।

[[भास्कराचार्य|भास्कर द्वितीय]] ने सन ११५० में वर्गप्रकृति (पेल समीकरण) का सामान्य हल बताया था जिसे [[चक्रवाल विधि]] कहते हैं। चक्रवाल विधि भी ब्रह्मगुप्त सर्वसमिका पर ही आधारित है।<ref name=stillwell>{{citation | year=2002 | title=Mathematics and its history | author1=[[John Stillwell]] | edition=2 | publisher=Springer | isbn=978-0-387-95336-6 | pages=72–76 | url=https://books.google.com/books?id=WNjRrqTm62QC&pg=PA72 | access-date=4 मई 2018 | archive-url=https://web.archive.org/web/20140102125527/http://books.google.com/books?id=WNjRrqTm62QC&pg=PA72 | archive-date=2 जनवरी 2014 | url-status=live }}</ref>

==सन्दर्भ==
{{टिप्पणीसूची}}

== इन्हें भी देखें ==
* [[ब्रह्मगुप्त मैट्रिक्स]] (Brahmagupta matrix)
* [[भारतीय गणित]]
* [[भारतीय गणितज्ञों की सूची]]

== बाहरी कड़ियाँ ==
* [https://web.archive.org/web/20121129133237/http://planetmath.org/encyclopedia/BrahmaguptasIdentity.html Brahmagupta's identity at [[PlanetMath]]]
* [http://mathworld.wolfram.com/BrahmaguptaIdentity.html Brahmagupta Identity] on [[MathWorld]]
* [https://web.archive.org/web/20110514213218/http://www.pballew.net/fiboiden.html Brahmagupta-Fibonacci identity]
* [https://web.archive.org/web/20120306122543/http://sites.google.com/site/tpiezas/005b A Collection of Algebraic Identities]

[[श्रेणी:बीजगणित]]
[[श्रेणी:भारतीय गणित]]
[[श्रेणी:ब्रह्मगुप्त]]
[[श्रेणी:प्राथमिक बीजगणित]]
[[श्रेणी:गणितीय सर्वसमिकाएँ]]

ब्रह्मगुप्त सर्वसमिका - अवतरण इतिहास

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