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[[बीजगणित]] में '''बहुपदी शेषफल प्रमेय''', [[बहुपदी दीर्घ भाजन]] (polynomial long division) का एक अनुप्रयोग है। इस प्रमेय के अनुसार, किसी रेखीय भाजक (divisor) <math>x-a\,</math> से किसी बहुपद <math>f(x)\,</math> को भाग करने पर '''शेष''' <math>r\,</math> का मान <math>f(a)</math> के बराबर होता है।

== उदाहरण ==

माना <math>f(x) = x^3 - 12x^2 - 42\,</math>.

<math>x-3\,</math> से [[बहुपदी भाग]] करने पर '''भागफल'''

<math>x^2 - 9x - 27\,</math> तथा '''शेष''' <math>-123\,</math> प्राप्त होता है।

और दूसरी तरफ, <math>f(3)=-123\,</math>.
अतः f(x) को (x-3) से विभाजित करने पर शेष = f(3)= -123।

== उपपत्ति ==
यह बहुपदी दीर्घ भाजन की परिभाषा से ही स्पष्ट हो जाता है, क्योंकि
:<math>f(x)=q(x)g(x) + r(x)\, </math>
जहाँ <math>g(x)\,</math>, <math>q(x)\,</math>, एवं <math>r(x)\,</math> क्रमशः भाजक, भजनफल एवं शेष हैं तथा
<math>r(x)\,</math> की कोटि (डिग्री) <math>g(x)\,</math> की डिग्री से कम है।

अब यदि <math>g(x) = x-a\,</math> रखा जाय तो शेष <math>r(x)\,</math> की डिग्री शून्य होगी; अर्थात <math>r(x) = r\,</math> और

:<math>f(x)=q(x)(x-a) + r\,.</math>

अब <math>x=a \!\,</math> रखने पर
:<math>f(a)=r\,.</math> प्राप्त होता है।

'''इतिसिद्धम्'''

== उपयोग ==
* बहुपदी शेषफल प्रमेय का एक उपयोग है कि हम इसकी सहायता से जान सकते हैं कि कोई रेखिइय व्यंजक किसी बहुपद का एक [[गुणनखण्ड]] (फैक्टर) है या नहीं। इसे [[गुणनखण्ड प्रमेय]] (फैक्टर थीअरम) कहते हैं।

* शेषफल प्रमेय एवं सिंथेटिक डिविजन का एक साथ उपयोग करते हुए कम मेहनत (कम कम्प्यूटिंग के द्वारा) ही कोई [[फलन]] का मान निकाला जा सकता है।

[[श्रेणी:बीजगणित]]
[[श्रेणी:गणितीय प्रमेय]]

शेषफल प्रमेय - अवतरण इतिहास

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