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2020-03-07T11:39:47Z

बॉट: पुनर्प्रेषण ठीक कर रहा है

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[[चित्र:Vector-addition-and-scaling.svg|right|thumb|300px|सदिशों का योग एवं अदिश गुणनफल (स्केलिंग)]]
'''सदिश बीजगणित''' (वेक्टर अल्जेब्रा) के अन्दर्गत [[सदिश राशि]]यों के योग, गुणन आदि का अध्ययन किया जाता है।

== सदिश का परिमाण ==
यदि त्रिविम यूक्लिडीय स्पेस में एक सदिश '''<math> \overrightarrow\mathbf{a} </math>''' = ''a''1'''e1''' + ''a''2'''e2'''+ ''a''3'''e3''' है (जहाँ '''e1''', '''e2''', '''e3''' लम्ब ईकाई सदिश हैं), तो सदिश का परिमाण निम्नलिखित रूप से ज्ञात किया जायेगा-

:<math> \left\|\overrightarrow\mathbf{a}\right\| = \sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2} </math>

इसके अतिरिक्त किसी सदिश राशि से उसएए के अदिश गुणनफल के परिमाण का वर्गमूल लेने पर उस सदिश का मान निकाला जा सकता है>।

:<math> \left\|\overrightarrow\mathbf{a}\right\|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}</math>

== सदिश योग का नियम ==
माना कि <math> \overrightarrow\mathbf{a} </math>=''a''1'''e1''' + ''a''2'''e2''' + ''a''3'''e3''' एबं <math>\overrightarrow\mathbf{b}</math>=''b''1'''e1''' + ''b''2'''e2''' + ''b''3'''e3''', है
जहाँ '''e1''', '''e2''', '''e3''' लम्ब ईकाई सदिश हैं।

तो '''<math> \overrightarrow\mathbf{a} </math>''' एबं '''<math>\overrightarrow\mathbf{b}</math>''' का योगफल निम्नलिखित होगा-
:<math> \overrightarrow\mathbf{a} + \overrightarrow\mathbf{b}
=(a_1+b_1)\mathbf{e_1}
+(a_2+b_2)\mathbf{e_2}
+(a_3+b_3)\mathbf{e_3}</math>

== सदिशों का अन्तर ==
यदि
:<math> \overrightarrow\mathbf{a} </math>=''a''1'''e1''' + ''a''2'''e2''' + ''a''3'''e3''' तथा

:<math> \overrightarrow\mathbf{b} </math>=''b''1'''e1''' + ''b''2'''e2''' + ''b''3'''e3''' हो तो-
सदिश '''<math> \overrightarrow\mathbf{a }</math>''' और '''<math> \overrightarrow\mathbf{b} </math>''' का अन्तर निम्नलिखित होगा-

:<math> \overrightarrow\mathbf{a} - \overrightarrow\mathbf{b}
=(a_1-b_1)\mathbf{e_1}
+(a_2-b_2)\mathbf{e_2}
+(a_3-b_3)\mathbf{e_3}</math>

==सदिश का वियोजन==
[[चित्र:VectorGenerado.gif|right|thumb|300px|किसी सदिश का दो परस्पर लम्बवत सदिशों में वियोजन]]
किसी सदिशों को दो या दो से अधिक सदिशों के योग के रूप में निरूपित किया जा सकता है। स्पष्टतः ऐसा अनन्त तरीकों से किया जा सकता है। किन्तु किसी दिये हुए सदिश को किन्हीं दो दिशाओं में वियोजन मात्र एक प्रकार से ही किया जा सकता है। प्रायः दे दो दिशाएं परस्पर लम्बवत होतीं हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

== सदिश् गुणन ==
=== अदिश से गुणन ===
एक सदिश को एक अदिश से गुणा किया जाय तो परिणाम एक सदिश होगा जो पूर्वोक्त सदिश की दिशा में होगा। उदाहरण के लिये किसी सदिश '''<math>\overrightarrow\mathbf{a}</math>''' को यदि एक अदिश '''r''' द्बारा गुणा किया जाय तो गुणनफल निम्नलिखित होगा-
:<math>r \overrightarrow\mathbf{a}=(ra_1)\mathbf{e_1}
+(ra_2)\mathbf{e_2}
+(ra_3)\mathbf{e_3}</math>

===अदिश गुणन या डॉट गुणन===
पुनः दो सदिशों का अदिश या डॉट गुणनफल एक अदिश राशि होती है।दो सदिशों का डॉट गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) निम्नलिखित प्रकार से पारिभाषित है-
:<math> \overrightarrow\mathbf{a} \cdot \overrightarrow\mathbf{b} = \langle a_1, a_2, \dots, a_n \rangle \cdot \langle b_1, b_2, \dots, b_n \rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n</math>

=== सदिश बीजगणित के सूत्र===
==== त्रिभुज सूत्र ====
किसी त्रिभुज की दो संलग्न भुजायें क्रम से दो सदिशों को निरूपित करें (परिणाम और दिशा दोनों ) तो त्रिभुज की तीसरी भुजा विपरीत क्रम में इन दो सदिशों का योग (परिणाम और दिशा दोनों में) निरूपित करेगी।

==== बहुभुज सूत्र ====
दो से अधिक सदिशों को इस प्रकार सजाया जाय कि प्रथम सदिश के शीर्ष पर दूसरे सदिश का पैर हो और दूसरे के सिर पर तीसरे का पैर हो तो इन सब सदिशों का योग प्रथम सदिश के पाद को अन्तिम सदिश के शीर्ष से मिलाने वाले सदिश के बराबर होगा।

==== बिनिमय सूत्र ====

:<math> \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{A} </math>

==== बण्टन सूत्र ====
<math>m( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} )=
m \overrightarrow{A}+m\overrightarrow{B}</math>

==== संयोग सूत्र ====
<math>(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})+\overrightarrow{C}=
\overrightarrow{A}+(\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C})</math>

==इन्हें भी देखें==
*[[सदिश कलन|सदिश कैलकुलस]]
*[[सदिश बीजगणित के सूत्र]]
*[[सदिश कैलकुलस की सर्वसमिकाएँ]]

[[श्रेणी:भौतिकी]]
[[श्रेणी:गणितीय संरचनाएँ]]

सदिश बीजगणित - अवतरण इतिहास

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