imported>InternetArchiveBot: Rescuing 16 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.1

2020-06-15T18:24:55Z

Rescuing 16 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.1

नया पृष्ठ

{{कलन}}

[[Image:Integral as region under curve.svg|right|thumb|300px|किसी फलन का निश्चित समाकल (definite integral) उस फलन के ग्राफ से घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल द्वारा निरूपित किया जा सकता है।]]
[[चित्र:Integral example.svg|right|thumb|300px|किसी फलन का निश्चित समाकल (definite integral) उस फलन के ग्राफ से घिरे क्षेत्र का चिह्नसहित क्षेत्रफल द्वारा निरूपित किया जा सकता है।]]
'''समाकलन''' ([[जर्मन भाषा|जर्मन]]; [[अंग्रेज़ी भाषा|अंग्रेज़ी]]; [[स्पेनी भाषा|स्पेनिश]]; [[पुर्तगाली भाषा|पुर्तगाली]]: Integral) यह एक विशेष प्रकार की योग क्रिया है जिसमें अत्यणु (infinitesimal) मान वाली किन्तु गिनती में अत्यधिक चर राशियों को जोड़ा जाता है। इसका एक प्रमुख उपयोग वक्राकार क्षेत्रों का क्षेत्रफल तथा आयतन निकालने में होता है। समाकलन को [[अवकलज|अवकलन]] की व्युत्क्रम संक्रिया की तरह भी समझा जा सकता है।

==समाकलन की परिभाषा==

फलन <math>f(x)</math> का अनिश्चित समाकलन वह फलन है जो निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है-

: <math> \int {f(x)}dx = F(x)+c </math>

[[File:Что такое интеграл Анимация.gif|thumb|अभिन्न (एनीमेशन) क्या है]]

जहाँ, <math> c</math> कोई नियतांक है ; <math>F(x)</math> फलन <math> f(x)</math> का समाकलन या एन्टी-डेरिवेटिव है ; अर्थात <math> F'(x) = f(x)</math> अर्थात f(x), F(x) का [[अवकलज|अवकलन]] है।

<math> \int f(x) dx</math> को '<math> x</math> के सापेक्ष <math> f(x)</math> का समाकल' पढ़ते हैं।

==अनिश्चित समाकल के गुण==
* <math>\int cf(x)\,dx = c\int f(x)\,dx</math>
* <math>\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx</math>
* <math>\int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx</math>

;कुछ प्रमुख फलनों के समाकल
* <math>\int 1\,{\rm d}x = x + K</math>
* <math>\int u'u^n\,{\rm d}x = \frac{u^{n+1}}{n+1} + K\qquad\mbox{ ( }n \ne -1{ ) }</math>
* <math>\int {u'dx \over u} = \ln{\left|u\right|} + K</math>
* <math>\int u'e^u\,{\rm d}x = e^u + K</math>
* <math>\int u'a^u\,{\rm d}x = \frac{a^u}{ln{a}} + K</math>
* <math>\int \sin u \cdot u'\,{\rm d}x = -\cos u + K</math>
* <math>\int \cos u \cdot u'\,{\rm d}x = \sin u + K</math>
* <math>\int \frac{1}{\cos^2 u} \cdot u'\,{\rm d}x = \tan u + K</math>
* <math>\int \frac{-1}{\sin^2 u} \cdot u'\,{\rm d}x = \cot u + K</math>
* <math>\int \frac{1}{1 + u^2} \cdot u'\,{\rm d}x = \arctan u + K</math>

==समाकलन की विधियाँ==
===चर परिवर्तन करके समाकलन करना===
'''{{main|प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन}}'''

: <math>\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm dx = \int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm dt.
</math>

===[[खंडशः समाकलन|खण्डशः समाकलन]] (इन्टीग्रेसन बाय पार्ट्स) ===

: <math>\int_{a}^{b} u(x)v'(x)\,\mathrm dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_{a}^{b} u'(x)v(x)\,\mathrm dx.</math>

===[[आंशिक भिन्न]] विधि===

== विभिन्न प्रकार के समाकल ==
: <math>\int f(x) dx</math> – [[आद्य समाकल|अनिश्चित समाकल]]
 
: <math>\int\limits_a^b f(x) dx</math> – [[निश्‍चित समाकलों की सूची|निश्चित समाकल]] (Definite integral)
 
: <math>\int\limits_{-\infty}^0 f(x) dx</math> – अनंत समाकल improper integral (=infinite integral)
 
: <math>\int\limits_E f(x) dx</math> – लेबेग समाकल (Lebesgue integral)
 
: <math>\iint\limits_{S}f(x, y, z)\;dS</math> – पृष्ठ समाकल (surface integral)
 
: <math>\oint\limits_{S}f(x,y)\;dl</math> – किसी बन्द वक्र के सापेक्ष वक्ररेखी समाकल

==सन्दर्भ==
{{टिप्पणीसूची}}

== इन्हें भी देखें ==
* [[समाकल सूची]] (Table of Integrals)
* [[अवकलज|अवकलन]] (Differentiation)

== बाहरी कड़ियाँ ==
* [https://web.archive.org/web/20120221192852/http://mathworld.wolfram.com/RiemannSum.html Riemann Sum] by [[Wolfram Research]]
* [https://web.archive.org/web/20110430120810/http://www.khanacademy.org/video/introduction-to-definite-integrals?playlist=Calculus Introduction to definite integrals] by [[Khan Academy]]
* [https://web.archive.org/web/20170731152720/http://www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais5.php Integrais] por [[Só Matemática]]
* [https://webhome.phy.duke.edu/~rgb/Class/math_for_intro_physics/math_for_intro_physics/node27.html Integral Calculus] by [[Duke University Physics Department]]
=== आनलाइन पुस्तकें ===
* Keisler, H. Jerome, [https://web.archive.org/web/20110501113944/http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals], University of Wisconsin
* Stroyan, K.D., [https://web.archive.org/web/20050911104158/http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus], University of Iowa
* Warner, Stefan y Costenoble, Steven R., [https://web.archive.org/web/20170731151856/https://www.zweigmedia.com/tcpage.php?book=combo&lang=es&ed=7 ''Matemáticas Finitas y Cálculo Aplicado 7e''], libro en linea
* Mauch, Sean, [https://web.archive.org/web/20060415161115/http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html ''Sean's Applied Math Book''], CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
* Crowell, Benjamin, [https://web.archive.org/web/20120204162239/http://www.lightandmatter.com/calc/ ''Calculus''], Fullerton College, an online textbook
* Cuartas, Roberto, [https://web.archive.org/web/20170521141301/http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/Curso-Calculo-Integral ''Cálculo Integral''], Tareas Pkus, libro y curso en linea
* Garrett, Paul, [https://web.archive.org/web/20120205080518/http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/ Notes on First-Year Calculus]
* Hussain, Faraz, [https://web.archive.org/web/20190326003217/https://understandingcalculus.com/ Understanding Calculus], an online textbook
* Kowalk, W.P., [https://web.archive.org/web/20120227032738/http://einstein.informatik.uni-oldenburg.de/20910.html ''Integration Theory''], University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
* Rudolph, Dennis, [https://web.archive.org/web/20170731123508/http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/integral-rechnnung-integrieren-flaeche-mathematik.html ''Integral-Rechnung / Integrieren Übersicht''], Mathematik Übersicht von Projekt Frustfrei-Lernen.de, Online-Lehrbuch
* Sloughter, Dan, [https://web.archive.org/web/20110715014621/http://math.furman.edu/~dcs/book/ Difference Equations to Differential Equations], an introduction to calculus
* [https://web.archive.org/web/20080509163927/http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/integration.html Numerical Methods of Integration] at ''Holistic Numerical Methods Institute''
* P.S. Wang, [https://web.archive.org/web/20060917023831/http://www.lcs.mit.edu/publications/specpub.php?id=660 Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation] (1972) - a cookbook of definite integral techniques

[[श्रेणी:समाकलन|*]]
[[श्रेणी:कलन]]

समाकलन - अवतरण इतिहास

imported>InternetArchiveBot: Rescuing 16 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.1