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उल्लेखनीय सर्वसमिकाएँ

भारतपीडिया से

यहाँ कुछ प्रमुख गुणनफल दिये गये हैं जिनके प्रयोग से गुणनखण्ड एवं अन्य कार्यों में बहुत सुविधा होती है।

उभयनिष्ट गुणक (common factor)[सम्पादित करें | स्रोत सम्पादित करें]

अंगूठाकार बनाने में त्रुटि हुई: फ़ाइल गायब है

उभयनिष्ट गुणक का चित्रात्मक निरूपण

c (a + b) = c a + c b

उदाहरण: $3 x (4 x + 6 y) = 12 x^{2} + 18 x y$

द्विपद का वर्ग[सम्पादित करें | स्रोत सम्पादित करें]

अंगूठाकार बनाने में त्रुटि हुई: फ़ाइल गायब है

द्विपद के वर्ग का चित्रात्मक निरूपण

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

त्रिपदी व्यंजक : $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , पूर्ण वर्ग त्रिपद कहलाता है।

इसी प्रकार,

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

उदाहरण: $(2 x - 3 y)^{2} = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (- 3 y) + (- 3 y)^{2}$

सरल करने पर:

(2 x - 3 y)^{2} = 4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2}

दो द्विपदों का गुणन जिनमें एक समान पद हो[सम्पादित करें | स्रोत सम्पादित करें]

अंगूठाकार बनाने में त्रुटि हुई: फ़ाइल गायब है

चित्रात्मक निरूपण

(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b

उदाहरण: $(3 x + 4) (3 x - 7) = (3 x) (3 x) + (3 x) (- 7) + (3 x) (4) + (4) (- 7)$

पदों को एकत्र करने पर:

(3 x + 4) (3 x - 7) = 9 x^{2} - 21 x + 12 x - 28

या:

(3 x + 4) (3 x - 7) = 9 x^{2} - 9 x - 28

दो पदों के योग एवं अन्तर का गुणनफल (वर्गान्तर सूत्र)[सम्पादित करें | स्रोत सम्पादित करें]

अंगूठाकार बनाने में त्रुटि हुई: फ़ाइल गायब है

'द्विपद युग्म' का गुणनफल

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$
उदाहरण: $(3 x + 5 y) (3 x - 5 y) =$; $(3 x) (3 x) + (3 x) (- 5 y) + (5 y) (3 x) + (5 y) (- 5 y)$

पदों को एकत्र करने पर:

(3 x + 5 y) (3 x - 5 y) = 9 x^{2} - 25 y^{2}

बहुपद का वर्ग[सम्पादित करें | स्रोत सम्पादित करें]

अंगूठाकार बनाने में त्रुटि हुई: फ़ाइल गायब है

एक त्रिपद के वर्ग का चित्रात्मक निरूपण

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a b + a c + b c)

(a + b + c + d)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + 2 (a b + a c + a d + b c + b d + c d)

उदाहरण: $(3 x + 2 y - 5 z)^{2} = (3 x + 2 y - 5 z) (3 x + 2 y - 5 z)$

गुणा करने पर:

(3 x + 2 y - 5 z)^{2} = 3 x \cdot 3 x + 3 x \cdot 2 y + 3 x \cdot (- 5 z)

+ 2 y \cdot 3 x + 2 y \cdot 2 y + 2 y \cdot (- 5 z)

+ (- 5 z) \cdot 3 x + (- 5 z) \cdot 2 y + (- 5 z) \cdot (- 5 z)

पदों को एकत्र करने के बाद:

(3 x + 2 y - 5 z)^{2} = 9 x^{2} + 4 y^{2} + 25 z^{2} + 2 (6 x y - 15 x z - 10 y z)

या:

(3 x + 2 y - 5 z)^{2} = 9 x^{2} + 4 y^{2} + 25 z^{2} + 12 x y - 30 x z - 20 y z

द्विपद का घन[सम्पादित करें | स्रोत सम्पादित करें]

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द्विपद के घन का आयतनों के योग के रूप में चित्रण

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

काशी (Cauchy) सर्वसमिका:

$(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$
उदाहरण: $(x + 2 y)^{3} = x^{3} + 3 (x)^{2} (2 y) + 3 (x) (2 y)^{2} + (2 y)^{3}$

पदों का समूह बनाने के बाद:

(x + 2 y)^{3} = x^{3} + 6 x^{2} y + 12 x y^{2} + 8 y^{3}

इसी प्रकार,

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

काशी (Cauchy) सर्वसमिका:

$(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 a b (a - b)$
उदाहरण: $(x - 2 y)^{3} = x^{3} - 3 (x)^{2} (2 y) + 3 (x) (2 y)^{2} - (2 y)^{3}$

पदों का समूह बनाने के बाद:

(x - 2 y)^{3} = x^{3} - 6 x^{2} y + 12 x y^{2} - 8 y^{3}

आर्गण्ड सर्वसमिका (Argand Identity)[सम्पादित करें | स्रोत सम्पादित करें]

(x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1) = x^{4} + x^{2} + 1

गाउस (Gauss) की सर्वसमिका[सम्पादित करें | स्रोत सम्पादित करें]

a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c)

a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = \frac{1}{2} (a + b + c) [(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (a - c)^{2}]

लिगेन्द्र (Legendre) सर्वसमिका[सम्पादित करें | स्रोत सम्पादित करें]

(a + b)^{2} + (a - b)^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})

(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 a b

(a + b)^{4} - (a - b)^{4} = 8 a b (a^{2} + b^{2})

लाग्रेंज (Lagrange) की सर्वसमिका[सम्पादित करें | स्रोत सम्पादित करें]

(a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) = (a x + b y)^{2} + (a y - b x)^{2}

(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = (a x + b y + c z)^{2} + (a y - b x)^{2} + (a z - c x)^{2} + (b z - c y)^{2}

अन्यान्य सर्वसमिकाएँ[सम्पादित करें | स्रोत सम्पादित करें]

घनों का योग: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$
घनों का अन्तर: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

nवें घातों का योग: यदि और केवल यदि "n" विषम संख्या हो तो, $a^{n} + b^{n} = (a + b) (a^{n - 1} - a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} - \dots + b^{n - 1})$
nवें घातों का अन्तर: $a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} + \dots + b^{n - 1})$

निम्नलिखित सूत्र किसी घन को दो वर्गों के अन्तर के रूप में अभिव्यक्त करता है-

a^{3} = {(\frac{(a + 1) a}{2})}^{2} - {(\frac{(a - 1) a}{2})}^{2}

इन्हें भी देखें[सम्पादित करें | स्रोत सम्पादित करें]

साँचा:Lien BA

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