लैटिस-बोल्ट्ज़मैन मैथड

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लैटिस-बोल्ट्ज़मैन मैथड (एल.बी.एम) तरल सिमुलेशन के लिये कंप्यूटेश्नल तरल गतिकी का एक वर्ग होता है। नेवियर-स्टोल्स समीकरण हल करने के बजाय, डिस्क्रीट बोल्ट्ज़्मैन समीकरण को हल किया जाता है। इसके द्वारा न्यूटोनियन तरल का बहाव भटनागर-ग्रॉस-क्रुक ऑपरेटर समान कोलीज़न मॉडलों का सिमुलेशन करने हेतु किया जाता है।

गणितीय ब्यौरे

बोल्ट्ज़्मैन समीकरण, एकल पार्टिकल प्रोबैब्लिटी वितरण फ़ंक्शन <math>f(x,v,t)</math> के लिये एवॉल्यूशन समीकरण होता है:

<math>\partial_t f + v\partial_x f + F\partial_v f=\Omega</math>

जहां <math>F</math> बाहरी बल है एवं <math>\Omega</math> कोलीज़न समाकलक है। लैटिस बोल्ट्ज़्मैन मैथड इस समीकरण को डिस्क्रीटाइज़ कर देता है। इसके लिये ये स्पेस को एक लैटिस एवं वेलोसिटी स्पेस को वेलोसिटी सेट्स <math>v_i</math> में डिस्क्रीटाइज़ कर देता है। तब बोल्ट्ज़्मैन समीकरण, जो अब लैटिस बोल्ट्ज़्मैन समीकरण बन चुका है, बन जाता है:

<math>f_i(x+v_i,t+1)-f_i(x,t) + F_i=\Omega</math>

The collision operator is often approximated by a BGK collision operator:

<math>\Omega = \frac{1}{\tau} (f_i^0-f_i)</math>

where <math>f_i^0</math> is the local equilibrium distribution.

The moments of the <math>f_i</math> give the local conserved quantities. The density is given by

<math>\rho=\sum_i f_i</math>

and the local momentum is given by

<math>\rho u = \sum_i f_i v_i.</math>

For the popular isothermal lattice Boltzmann methods these are the only conserved quantities. Thermal models also conserve energy and therefore have an additional conserved quantity:

<math>\rho \theta + \rho u u =\sum_i f_i v_i v_i.</math>

The collision operator has to respect the conservation laws. Therefore the equilibirum distribution <math>f_i^0</math> must have the same conserved moments as the <math>f_i</math>.

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