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गणित में वैश्लेषिक फलन (analytic function) वह फलन कहलाता है जिसे अभिसारी बहुघात श्रेणी में बदला जा सके। वास्तविक व समिश्र दोनों तरह के वैश्लेषिक फलन पाये जाते हैं जिनके जिनकी श्रेणियाँ कुछ समानता व कुछ भिन्नता के साथ होती हैं।
परिभाषा
सामान्यतः, एक फलन ƒ वास्तविक संख्या रेखा पर खुले समुच्चय D में वास्तविक विश्लेषणात्मक होगा यदि D में सभी x0 के लिए
- <math>\begin{align}
f(x) & = \sum_{n=0}^\infty a_{n} \left(x-x_0 \right)^{n} \\ & = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots \end{align} </math>
जहाँ गुणक a0, a1, ... आदि वास्तविक संख्याएं हैं और श्रेणी ƒ(x) पर x के लिए x0 के परिवेश में अभिसारी है।
उदाहरण
ex एक वैश्लेषिक फलन है। इसी तरह sin x, cos x, tan x आधि स्भी त्रिकोणमितीय फलन भी वैश्लेषिक हैं। बहुघात फलन (वास्तविक अथवा समिश्र) वैश्लेषिक फलन का उदाहरण है।
वैश्लेषिक फलन के गुणधर्म
- वैश्लेषिक फलन अनन्त अवकलनीय (infinitely differentiable) होते हैं।