"आविश्लेषिक फलन" (अनुभाग) सम्पादित करें

== परिभाषा ==

माना <math>M=\{M_k\}_{k=0}^\infty</math> धनात्मक वास्तविक संख्याओं का एक अनुक्रम है जहाँ ''M''<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;1 है। तब हम ''f''&nbsp;&isin;&nbsp;''C''<sup>&infin;</sup>([''a'',''b'']) के लिए फलनों की कक्षा ''C''<sup>''M''</sup>([''a'',''b'']) परिभाषित करते हैं जो निम्न समीकरण को संतुष्ट करती है।

:<math>\left |\frac{d^kf}{dx^k}(x) \right | \leq A^{k+1} M_k </math>

सभी ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;[''a'',''b''], कुछ नियतांक ''A'' और सभी ऋणेत्तर पूर्णांक ''k'' के लिए। यदि ''M''<sub>''k''</sub>&nbsp;=&nbsp;''k''! हो तो यह अन्तराल [''a'',''b''] पर वास्तविक विश्लेषणात्मक फलनों की कक्षा है। कक्षा ''C''<sup>''M''</sup>([''a'',''b'']) ''आविश्लेषिक'' होगी यदि जब ''f''&nbsp;&isin;&nbsp;''C''<sup>''M''</sup>([''a'',''b'']) और

:<math>\frac{d^k f}{dx^k}(x) = 0</math>

कुछ बिंदुओं के लिए ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;[''a'',''b''] और सभी ''k'', ''f'' समान रूप से शून्य हो। 

एक फलन ''f'' को ''आविश्लेषिक फलन'' कहलाता है यदि ''f'' किसी आविश्लेषिक कक्षा में हो।