आविश्लेषिक फलन

गणित में, फलनों की आविश्लेषिक कक्षा निम्नलिखित प्रभाव के अंतरगत वास्तविक विश्लेषणात्मक फलनों का व्यापकीकरण है। यदि f अन्तराल [a,b] ⊂ R एक विश्लेषणात्मक फलन है और किसी बिन्दु पर f और इसके सभी अवकलज शून्य हैं तो f, [a,b] में समान रूप से शून्य होगा। आविश्लेषिक कक्षा उन फलनों की व्यापक कक्षा है जिनमें उपरोक्त कथन सय है।

परिभाषा

माना $M=\{M_k{\}}_{k=0}^{\mathrm{\infty }}$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं का एक अनुक्रम है जहाँ M₀ = 1 है। तब हम f ∈ C^∞([a,b]) के लिए फलनों की कक्षा C^M([a,b]) परिभाषित करते हैं जो निम्न समीकरण को संतुष्ट करती है।

$|\frac{d^{k}f}{d{x}^k}(x)|\le A^{k+1}{M}_k$

सभी x ∈ [a,b], कुछ नियतांक A और सभी ऋणेत्तर पूर्णांक k के लिए। यदि M_k = k! हो तो यह अन्तराल [a,b] पर वास्तविक विश्लेषणात्मक फलनों की कक्षा है। कक्षा C^M([a,b]) आविश्लेषिक होगी यदि जब f ∈ C^M([a,b]) और

$\frac{d^{k}f}{d{x}^k}(x)=0$

कुछ बिंदुओं के लिए x ∈ [a,b] और सभी k, f समान रूप से शून्य हो।

एक फलन f को आविश्लेषिक फलन कहलाता है यदि f किसी आविश्लेषिक कक्षा में हो।

सन्दर्भ

• Carleman, T.(1926). Les fonctions quasi-analytiques. Gauthier-Villars.
• (1968). A simple proof of the Denjoy-Carleman theorem. Mathematical Association of America.[१]
• Denjoy, A.(1921). Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle.
• Hörmander, Lars(1990). The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. Springer-Verlag.