"सुतीक्ष्ण समुच्चय" सम्पादित करें

[[गणित]] में '''सुतीक्ष्ण समुच्चय''' अथवा '''पोइंटेड समुच्चय'''<ref name=Mac26/><ref name="Berhuy">{{cite book | title=An Introduction to Galois Cohomology and Its Applications | volume=377 | series=London Mathematical Society Lecture Note Series | author=Grégory Berhuy | publisher=Cambridge University Press | year=2010 | isbn=0-521-73866-0 | zbl=1207.12003 | page=34 }}</ref> ('''आधारी समुच्चय''' अथवा '''नियत समुच्चय''' भी) <math>(X, x_0)</math> का [[क्रमित युग्म]] है जहाँ <math>X</math> एक [[समुच्चय (गणित)|समुच्चय]] तथा <math>x_0</math> समुच्चय <math>X</math> का एक अवयव है जिसे इसका '''आधार बिन्दु''' कहते हैं<ref name="Berhuy"/> तथा इसे अधार बिन्दु अथवा बेसपॉइंट पढ़ा जाता है।<ref name="Rotman2008">{{cite book|author=Joseph Rotman|title=An Introduction to Homological Algebra|year=2008|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-68324-9|edition=2nd}}</ref>{{rp|10–11}}

सुतीक्ष्ण समुच्चयों <math>(X, x_0)</math> और <math>(Y, y_0)</math> पर प्रतिचित्रण (जिसे '''आधार प्रतिचित्रण''',<ref>{{citation|title=Algebraic Topology|first=C. R. F.|last=Maunder|publisher=Dover|year=1996|page=31|url=http://books.google.com/books?id=YkyizIcJdK0C&pg=PA31}}.</ref> '''सुतीक्ष्ण प्रतिचित्रण''',<ref name="Rotman2008"/> अथवा '''बिन्दू-सरंक्षी प्रतिचित्रण'''<ref name="KoslowskiMelton2001"/> कहा जाता है) <math>X</math> से <math>Y</math> में परिभाषित [[फलन]] हैं जो एक से अन्य में आधार बिन्दु का प्रतिचित्रण करते हैं। उदाहरण के लिए <math>f : X \to Y</math> इस प्रकार है कि <math>f(x_0) = y_0</math> तो इसे निम्न रूप में प्रदर्शित किया जाता है:
: <math>f : (X, x_0) \to (Y, y_0)</math>.

सुतीक्ष्ण समुच्चय को आपेक्षिक रूप से सरल [[बीजगणितीय संरचना]] माना जाता है। सार्वभौम बीजगणित के रूप में किसी एक नल्लरी संक्रिया से निर्मित सरंचना है जो आधार बिन्दु का चुनाव करती है।<ref name="LaneBirkhoff1999">{{cite book|author1=Saunders Mac Lane|author2=Garrett Birkhoff|title=Algebra|url=https://archive.org/details/algebra00lane|year= 1999|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-1646-2|page=[https://archive.org/details/algebra00lane/page/n516 497]|origyear=1988|edition=3rd}}</ref>

सभी आधार प्रचित्रणों के वर्ग के साथ सभी सुतीक्ष्ण समुच्चयों का वर्ग [[संवर्ग सिद्धान्त]] का निर्माण करती है। इस संवर्ग में सुतीक्ष्ण [[एकल समुच्चय]] <math>(\{a\}, a)</math> प्रारम्भिक और अंतिम बिंब<ref name=Mac26>Mac Lane (1998) p.26</ref> अर्थात [[शून्य बिंब]] है।<ref name="Rotman2008"/>{{rp|226}} यहाँ सामान्य समुच्चय से सुतीक्ष्ण समुच्चय पर [[यथातथ अवच्छेक]] है लेकिन यह पूर्ण नहीं है तथा ये संवर्ग तुल्यकारिक नहीं हैं।<ref name="joy">J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, (18th January 2005) [http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150421081851/http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf |date=21 अप्रैल 2015 }}</ref>{{rp|44}} विशेष्स रूप से [[रिक्त समुच्चय]] सुतीक्ष्ण समुच्चय नहीं है क्योंकि इसमें कोई भी अवयव नहीं होता जिसे आधार बिन्दु के रूप में उच्ना जा सके।<ref name="LawvereSchanuel2009">{{cite book|author1=F. W. Lawvere|author2=Stephen Hoel Schanuel|title=Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories|year=2009|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-89485-2|edition=2nd|pages=[https://archive.org/details/conceptualmathem00lawv/page/296 296–298]|url=https://archive.org/details/conceptualmathem00lawv/page/296}}</ref>

सुतीक्ष्ण समुच्चयों का संवर्ग और आधारी प्रतिचित्रण समतुल्य हैं लेकिन [[आंशिक फलन|आंशिक फलनों]] और समुच्चयों के संवर्ग के साथ तुल्यकारिक नहीं हैं।<ref name="KoslowskiMelton2001">{{cite book|editor=Jürgen Koslowski and Austin Melton|title=Categorical Perspectives|year=2001|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-8176-4186-3|page=10|author=Lutz Schröder|chapter=Categories: a free tour}}</ref>
==सन्दर्भ==
{{टिप्पणीसूची}}

{{DEFAULTSORT:सुतीक्ष्ण समुच्चय}}
[[श्रेणी:समुच्चय सिद्धान्त]]
[[श्रेणी:बीजगणित]]
[[श्रेणी:चित्र जोड़ें]]