समाकलन

अंगूठाकार बनाने में त्रुटि हुई: फ़ाइल गायब है

किसी फलन का निश्चित समाकल (definite integral) उस फलन के ग्राफ से घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल द्वारा निरूपित किया जा सकता है।

अंगूठाकार बनाने में त्रुटि हुई: फ़ाइल गायब है

किसी फलन का निश्चित समाकल (definite integral) उस फलन के ग्राफ से घिरे क्षेत्र का चिह्नसहित क्षेत्रफल द्वारा निरूपित किया जा सकता है।

समाकलन (जर्मन; अंग्रेज़ी; स्पेनिश; पुर्तगाली: Integral) यह एक विशेष प्रकार की योग क्रिया है जिसमें अत्यणु (infinitesimal) मान वाली किन्तु गिनती में अत्यधिक चर राशियों को जोड़ा जाता है। इसका एक प्रमुख उपयोग वक्राकार क्षेत्रों का क्षेत्रफल तथा आयतन निकालने में होता है। समाकलन को अवकलन की व्युत्क्रम संक्रिया की तरह भी समझा जा सकता है।

समाकलन की परिभाषा

फलन $f(x)$ का अनिश्चित समाकलन वह फलन है जो निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है-

$\int f(x)dx=F(x)+c$

अंगूठाकार बनाने में त्रुटि हुई: फ़ाइल गायब है

अभिन्न (एनीमेशन) क्या है

जहाँ, $c$ कोई नियतांक है ; $F(x)$ फलन $f(x)$ का समाकलन या एन्टी-डेरिवेटिव है ; अर्थात $F^{\prime }(x)=f(x)$ अर्थात f(x), F(x) का अवकलन है।

$\int f(x)dx$ को '$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का समाकल' पढ़ते हैं।

अनिश्चित समाकल के गुण

• $\int cf(x)dx=c\int f(x)dx$
• $\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$
• $\int f^{\prime }(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g^{\prime }(x)dx$

कुछ प्रमुख फलनों के समाकल

• $\int 1\mathrm{d}x=x+K$
• $\int u^{\prime }{u}^n\mathrm{d}x=\frac{u^{n+1}}{n+1}+K\text{ ( }n\ne -1)$
• $\int \frac{u^{\prime }dx}{u}=\ln \left|u\right|+K$
• $\int u^{\prime }{e}^u\mathrm{d}x=e^u+K$
• $\int u^{\prime }{a}^u\mathrm{d}x=\frac{a^u}{lna}+K$
• $\int \sin u\cdot u^{\prime }\mathrm{d}x=-\cos u+K$
• $\int \cos u\cdot u^{\prime }\mathrm{d}x=\sin u+K$
• $\int \frac{1}{{\cos }^{2}u}\cdot u^{\prime }\mathrm{d}x=\tan u+K$
• $\int \frac{-1}{{\sin }^{2}u}\cdot u^{\prime }\mathrm{d}x=\cot u+K$
• $\int \frac{1}{1+u^2}\cdot u^{\prime }\mathrm{d}x=\arctan u+K$

समाकलन की विधियाँ

चर परिवर्तन करके समाकलन करना

मुख्य लेख - प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन

$\underset{\phi (a)}{\overset{\phi (b)}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t.$

खण्डशः समाकलन (इन्टीग्रेसन बाय पार्ट्स)

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x=[u(x)v(x){]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x.$

विभिन्न प्रकार के समाकल

$\int f(x)dx$ – अनिश्चित समाकल

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ – निश्चित समाकल (Definite integral)

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}f(x)dx$ – अनंत समाकल improper integral (=infinite integral)

$\underset{E}{\int }f(x)dx$ – लेबेग समाकल (Lebesgue integral)

$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)dS$ – पृष्ठ समाकल (surface integral)

$\underset{S}{\oint }f(x,y)dl$ – किसी बन्द वक्र के सापेक्ष वक्ररेखी समाकल

इन्हें भी देखें

• समाकल सूची (Table of Integrals)
• अवकलन (Differentiation)

बाहरी कड़ियाँ

• Riemann Sum by Wolfram Research
• Introduction to definite integrals by Khan Academy
• Integrais por Só Matemática
• Integral Calculus by Duke University Physics Department

आनलाइन पुस्तकें

• Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
• Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa
• Warner, Stefan y Costenoble, Steven R., Matemáticas Finitas y Cálculo Aplicado 7e, libro en linea
• Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
• Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook
• Cuartas, Roberto, Cálculo Integral, Tareas Pkus, libro y curso en linea
• Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
• Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
• Kowalk, W.P., Integration Theory, University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
• Rudolph, Dennis, Integral-Rechnung / Integrieren Übersicht, Mathematik Übersicht von Projekt Frustfrei-Lernen.de, Online-Lehrbuch
• Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus
• Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute
• P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) - a cookbook of definite integral techniques