समाकलन

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किसी फलन का निश्चित समाकल (definite integral) उस फलन के ग्राफ से घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल द्वारा निरूपित किया जा सकता है।
किसी फलन का निश्चित समाकल (definite integral) उस फलन के ग्राफ से घिरे क्षेत्र का चिह्नसहित क्षेत्रफल द्वारा निरूपित किया जा सकता है।

समाकलन (जर्मन; अंग्रेज़ी; स्पेनिश; पुर्तगाली: Integral) यह एक विशेष प्रकार की योग क्रिया है जिसमें अत्यणु (infinitesimal) मान वाली किन्तु गिनती में अत्यधिक चर राशियों को जोड़ा जाता है। इसका एक प्रमुख उपयोग वक्राकार क्षेत्रों का क्षेत्रफल तथा आयतन निकालने में होता है। समाकलन को अवकलन की व्युत्क्रम संक्रिया की तरह भी समझा जा सकता है।

समाकलन की परिभाषा

फलन <math>f(x)</math> का अनिश्चित समाकलन वह फलन है जो निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है-

<math> \int {f(x)}dx = F(x)+c </math>
अभिन्न (एनीमेशन) क्या है

जहाँ, <math> c</math> कोई नियतांक है ; <math>F(x)</math> फलन <math> f(x)</math> का समाकलन या एन्टी-डेरिवेटिव है ; अर्थात <math> F'(x) = f(x)</math> अर्थात f(x), F(x) का अवकलन है।

<math> \int f(x) dx</math> को '<math> x</math> के सापेक्ष <math> f(x)</math> का समाकल' पढ़ते हैं।

अनिश्चित समाकल के गुण

  • <math>\int cf(x)\,dx = c\int f(x)\,dx</math>
  • <math>\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx</math>
  • <math>\int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx</math>
कुछ प्रमुख फलनों के समाकल
  • <math>\int 1\,{\rm d}x = x + K</math>
  • <math>\int u'u^n\,{\rm d}x = \frac{u^{n+1}}{n+1} + K\qquad\mbox{ ( }n \ne -1{ ) }</math>
  • <math>\int {u'dx \over u} = \ln{\left|u\right|} + K</math>
  • <math>\int u'e^u\,{\rm d}x = e^u + K</math>
  • <math>\int u'a^u\,{\rm d}x = \frac{a^u}{ln{a}} + K</math>
  • <math>\int \sin u \cdot u'\,{\rm d}x = -\cos u + K</math>
  • <math>\int \cos u \cdot u'\,{\rm d}x = \sin u + K</math>
  • <math>\int \frac{1}{\cos^2 u} \cdot u'\,{\rm d}x = \tan u + K</math>
  • <math>\int \frac{-1}{\sin^2 u} \cdot u'\,{\rm d}x = \cot u + K</math>
  • <math>\int \frac{1}{1 + u^2} \cdot u'\,{\rm d}x = \arctan u + K</math>

समाकलन की विधियाँ

चर परिवर्तन करके समाकलन करना

साँचा:Main

<math>\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm dx = \int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm dt.

</math>

खण्डशः समाकलन (इन्टीग्रेसन बाय पार्ट्स)

<math>\int_{a}^{b} u(x)v'(x)\,\mathrm dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_{a}^{b} u'(x)v(x)\,\mathrm dx.</math>

आंशिक भिन्न विधि

विभिन्न प्रकार के समाकल

<math>\int f(x) dx</math> – अनिश्चित समाकल


<math>\int\limits_a^b f(x) dx</math> – निश्चित समाकल (Definite integral)


<math>\int\limits_{-\infty}^0 f(x) dx</math> – अनंत समाकल improper integral (=infinite integral)


<math>\int\limits_E f(x) dx</math> – लेबेग समाकल (Lebesgue integral)


<math>\iint\limits_{S}f(x, y, z)\;dS</math> – पृष्ठ समाकल (surface integral)


<math>\oint\limits_{S}f(x,y)\;dl</math> – किसी बन्द वक्र के सापेक्ष वक्ररेखी समाकल

सन्दर्भ

इन्हें भी देखें

बाहरी कड़ियाँ

आनलाइन पुस्तकें

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