कौशी आव्यूह

गणित में कौशी के नाम से नामकरण किया गया कौशी आव्यूह अथवा कौशी मैट्रिक्स एक m×n का आव्यूह है जहाँ a_ij निम्न प्रकार परिभाषित है

$a_{ij}=\frac{1}{x_i-y_j};x_i-y_j\ne 0,1\le i\le m,1\le j\le n$

जहाँ $x_i$ और $y_j$ क्षेत्र ${ℱ}$ के अवयव हैं और $(x_i)$ और $(y_j)$ एकैकी अनुक्रम हैं (इनमें पुनरावृत्‍त अवयव समाहित नहीं हैं अर्थात सभी अवयव भिन्न हैं). चित्र:LogoQM.tif

हिल्बर्ट आव्यूह कौशी आव्यूह की विशेष स्थिति है, जहाँ

$x_i-y_j=i+j-1.$

कौशी आव्यूह का प्रत्येक उपाआव्यूह अपने आप में एक कौशी आव्यूह है।

कौशी सारणिक

मुख्य लेख - कौशी सारणिक

कौशी आव्यूह का सारणिक प्राचलों $(x_i)$ और $(y_j)$ का स्पष्ट रूप से एक परिमेय फलन होगा।

व्यापकीकरण

एक आव्यूह C कौशी स्दृश्य कहलाता है यदि इसे निम्न रूप में लिखा जा सके

$C_{ij}=\frac{r_i{s}_j}{x_i-y_j}.$

X=diag(x_i), Y=diag(y_i) परिभषित करने पर, दोनों कौशी और कौशी सदृश आव्यूह विस्तापन समीकरण सन्तुष्ट करते हैं

$\mathbf{𝐗}\mathbf{𝐂}-\mathbf{𝐂}\mathbf{𝐘}=r{s}^{\mathrm{T}}$

(जहां कौशी आव्यूह के लिए $r=s=(1,1,\dots ,1)$)। अतः कौशी स्दृश आव्यूह एक सामान्य विस्थापन आव्यूह है,

ये भी देखें

टोएपलित्ज़ आव्यूह

सन्दर्भ

• "A fast algorithm for the multiplication of generalized Hilbert matrices with vectors". Mathematics of Computation. 50(181)

179–188.[१]Retrieved 5 मई 2013.

• "Fast Gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure". Mathematics of Computation. 64(212)

1557–1576.[२]Retrieved 5 मई 2013.

• "An $O(N{\log }^{2}N)$ algorithm for the inversion of general Toeplitz matrices". Computers & Mathematics with Applications. 50

741–752.[३]Retrieved 5 मई 2013.

• "On the inversion of certain matrices". Mathematical Tables and Other Aids to Computation. 13(66)

73–77.[४]Retrieved 5 मई 2013.