कौशी आव्यूह
गणित में कौशी के नाम से नामकरण किया गया कौशी आव्यूह अथवा कौशी मैट्रिक्स एक m×n का आव्यूह है जहाँ aij निम्न प्रकार परिभाषित है
- <math>
a_{ij}={\frac{1}{x_i-y_j}};\quad x_i-y_j\neq 0,\quad 1 \le i \le m,\quad 1 \le j \le n </math> जहाँ <math>x_i</math> और <math>y_j</math> क्षेत्र <math>\mathcal{F}</math> के अवयव हैं और <math>(x_i)</math> और <math>(y_j)</math> एकैकी अनुक्रम हैं (इनमें पुनरावृत्त अवयव समाहित नहीं हैं अर्थात सभी अवयव भिन्न हैं).
हिल्बर्ट आव्यूह कौशी आव्यूह की विशेष स्थिति है, जहाँ
- <math>x_i-y_j = i+j-1. \;</math>
कौशी आव्यूह का प्रत्येक उपाआव्यूह अपने आप में एक कौशी आव्यूह है।
कौशी सारणिक
साँचा:Main कौशी आव्यूह का सारणिक प्राचलों <math>(x_i)</math> और <math>(y_j)</math> का स्पष्ट रूप से एक परिमेय फलन होगा।
व्यापकीकरण
एक आव्यूह C कौशी स्दृश्य कहलाता है यदि इसे निम्न रूप में लिखा जा सके
- <math>C_{ij}=\frac{r_i s_j}{x_i-y_j}.</math>
X=diag(xi), Y=diag(yi) परिभषित करने पर, दोनों कौशी और कौशी सदृश आव्यूह विस्तापन समीकरण सन्तुष्ट करते हैं
- <math>\mathbf{XC}-\mathbf{CY}=rs^\mathrm{T}</math>
(जहां कौशी आव्यूह के लिए <math>r=s=(1,1,\ldots,1)</math>)। अतः कौशी स्दृश आव्यूह एक सामान्य विस्थापन आव्यूह है,