वैश्‍लेषिक फलन

गणित में वैश्‍लेषिक फलन (analytic function) वह फलन कहलाता है जिसे अभिसारी बहुघात श्रेणी में बदला जा सके। वास्तविक व समिश्र दोनों तरह के वैश्‍लेषिक फलन पाये जाते हैं जिनके जिनकी श्रेणियाँ कुछ समानता व कुछ भिन्नता के साथ होती हैं।

परिभाषा

सामान्यतः, एक फलन ƒ वास्तविक संख्या रेखा पर खुले समुच्चय D में वास्तविक विश्लेषणात्मक होगा यदि D में सभी x₀ के लिए

$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(x-x_0)}^n\\ & =a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+a_3(x-x_0{)}^3+\cdots \end{array}$

जहाँ गुणक a₀, a₁, ... आदि वास्तविक संख्याएं हैं और श्रेणी ƒ(x) पर x के लिए x₀ के परिवेश में अभिसारी है।

उदाहरण

e^x एक वैश्लेषिक फलन है। इसी तरह sin x, cos x, tan x आधि स्भी त्रिकोणमितीय फलन भी वैश्लेषिक हैं। बहुघात फलन (वास्तविक अथवा समिश्र) वैश्‍लेषिक फलन का उदाहरण है।

वैश्‍लेषिक फलन के गुणधर्म

• वैश्‍लेषिक फलन अनन्त अवकलनीय (infinitely differentiable) होते हैं।

ये भी देखें

• कोशी रीमान समीकरण
• होलोमार्फिक फलन
• आविश्लेषिक फलन